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岡山朝日高校 学力検査自校作成問題【数学】平成29年度(2017年度)入試 大問5 解説

【岡山朝日高校過去問解説シリーズ】

今回は、2017年(平成29年)岡山朝日高校入試の数学大問5の解説です。

問題は岡山朝日高校公式HPからダウンロードしてください。

あくまで【解説】なので、解答ではありません。(単位はつけましょう。)

どのような思考・手順で解けばよいのかに重点を置いています。

まずは時間を測りながら、自力で解いてみて、その後に読むようにしてください。

途中式や計算、証明問題などで簡単なところは省略している場合があります。

記述問題の解答は、岡山朝日高校公式HPにある解答例を参考にしてください。

問題の難易度を★の数で表しています。★1~2個の問題は必ず解けるように。

目安時間以内に解ければ、制限時間45分以内に完答できるでしょう。

大問5 動点【目安時間:15分】

動点に関する問題です。

ある程度パターン化しているので、理解できている(動点の問題が解ける)人にとっては難しくなかったでしょう。

②➂で場合分けがきちんとできるかどうかが大切です。

①★速さ、面積【目安時間:2分】

(ア)

点Qが原点Oから点Cに到達するまでの長さを求めます。

OAは直角三角形の斜辺と考えて、直角三角形の辺の比【3:4:5】を利用します。

OA=5

BC=OAより点Qが原点Oから点Cに到達するまでの長さは

5+1+5=11

よって、

11÷$\frac{11}{2}$=2 ・・・(答)

(イ)

$t=1$のとき、△OPQの底辺OPは3、高さは比を使って$2×\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$

よって

$\frac{1}{2}×3×\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$ ・・・(答)

②★★★面積【目安時間:6分】

$t$の範囲によって、面積の求め方が変わります。

・点Pが出発してから3秒後まではOP=3tとなり、3秒を超えるとOP=3となります。

・点Qは出発してから$\frac{5}{2}$秒後に点Aに到達し、3秒後に点B、$\frac{11}{2}$秒後に点Cに到達します。

これより、点P,Qが原点Oを出発してから

(1)点Qが点Aに到達するまで

(2)点Pが点Cに、点Qが点Bに到達するまで

(3)点Qが点Cに到達するまで(点Pは点Cで止まったまま)

の3つに場合分けできることがわかります。

(1)$0<t≦\frac{5}{2}$のとき

$S=3t×\frac{3}{5}×2t×\frac{1}{2}$

$=\frac{9}{5}t^2$ ・・・(答)

(2)$\frac{5}{2}<t≦3$のとき

$S=3t×3×\frac{1}{2}$

$=\frac{9}{2}t$ ・・・(答)

(3)$3≦t<\frac{11}{2}$のとき

$S=9×\frac{3}{5}×(11-2t)×\frac{1}{2}$

$=\frac{27}{10}(11-2t)$ ・・・(答)

特に(3)のQCの長さの求め方は理解しておく必要があります。

➂★★★条件を満たす$t$の値【目安時間:5分】

②の式を利用して、$t$の値を求めます。

全て答えになるとは限りません。

それぞれ$t$の範囲内かどうかを確かめる必要があります。

(1)$0<t≦\frac{5}{2}$のとき

$\frac{9}{5}t^2=9$

$t=±\sqrt{ 5 }$

$0<t≦\frac{5}{2}$より$t=\sqrt{ 5 }$

(2)$\frac{5}{2}<t≦3$のとき

$\frac{9}{2}t=9$

$t=2$

これは$\frac{5}{2}<t≦3$に適さない。

(3)$3≦t<\frac{11}{2}$のとき

$\frac{27}{10}(11-2t)=9$

$t=\frac{23}{6}$

これは$3≦t<\frac{11}{2}$を満たす。

(1)~(3)より

$t=\sqrt{ 5 },\frac{23}{6}$ ・・・(答)

以上、2017年度(平成29年度)岡山朝日高校入試の数学大問5の解説でした。

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