岡山朝日高校　学力検査自校作成問題【数学】平成29年度（2017年度）入試　大問５　解説

【岡山県立岡山朝日高等学校過去問解説シリーズ】

今回は、2017年（平成29年）岡山朝日高校入試の数学大問５の解説です。

問題は岡山県立岡山朝日高等学校公式ＨＰからダウンロードしてください。

あくまで【解説】なので、解答ではありません。（単位はつけましょう。）

どのような思考・手順で解けばよいのかに重点を置いています。

まずは時間を測りながら、自力で解いてみて、その後に読むようにしてください。

途中式や計算、証明問題などで簡単なところは省略している場合があります。

記述問題の解答は、岡山県立岡山朝日高等学校公式ＨＰにある解答例を参考にしてください。

問題の難易度を★の数で表しています。★１～２個の問題は必ず解けるように。

目安時間以内に解ければ、制限時間４５分以内に完答できるでしょう。

※スマートフォンでご覧になると、数式が文字化けしている場合があります。その際は、最下部にて「モバイルバージョンを終了」すると正常に見ることができます。

大問５　動点【目安時間：１５分】

動点に関する問題です。

ある程度パターン化しているので、理解できている（動点の問題が解ける）人にとっては難しくなかったでしょう。

②➂で場合分けがきちんとできるかどうかが大切です。

①★速さ、面積【目安時間：２分】

（ア）

点Qが原点Oから点Cに到達するまでの長さを求めます。

OAは直角三角形の斜辺と考えて、直角三角形の辺の比【３：４：５】を利用します。

OA=5

BC=OAより点Qが原点Oから点Cに到達するまでの長さは

5+1+5=11

よって、

11÷$\frac{11}{2}$=2　・・・（答）

（イ）

$t=1$のとき、△OPQの底辺OPは3、高さは比を使って$2×\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$

よって

$\frac{1}{2}×3×\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$　・・・（答）

②★★★面積【目安時間：６分】

$t$の範囲によって、面積の求め方が変わります。

・点Pが出発してから3秒後まではOP=3tとなり、3秒を超えるとOP=3となります。

・点Qは出発してから$\frac{5}{2}$秒後に点Aに到達し、3秒後に点B、$\frac{11}{2}$秒後に点Cに到達します。

これより、点P,Qが原点Oを出発してから

（１）点Qが点Aに到達するまで

（２）点Pが点Cに、点Qが点Bに到達するまで

（３）点Qが点Cに到達するまで（点Pは点Ｃで止まったまま）

の３つに場合分けできることがわかります。

（１）$0<t≦\frac{5}{2}$のとき

$S=3t×\frac{3}{5}×2t×\frac{1}{2}$

$=\frac{9}{5}t^2$　・・・（答）

（２）$\frac{5}{2}<t≦3$のとき

$S=3t×3×\frac{1}{2}$

$=\frac{9}{2}t$　・・・（答）

（３）$3≦t<\frac{11}{2}$のとき

$S=9×\frac{3}{5}×(11-2t)×\frac{1}{2}$

$=\frac{27}{10}(11-2t)$　・・・（答）

特に（３）のQCの長さの求め方は理解しておく必要があります。

➂★★★条件を満たす$t$の値【目安時間：５分】

②の式を利用して、$t$の値を求めます。

全て答えになるとは限りません。

それぞれ$t$の範囲内かどうかを確かめる必要があります。

（１）$0<t≦\frac{5}{2}$のとき

$\frac{9}{5}t^2=9$

$t=±\sqrt{ 5 }$

$0<t≦\frac{5}{2}$より$t=\sqrt{ 5 }$

（２）$\frac{5}{2}<t≦3$のとき

$\frac{9}{2}t=9$

$t=2$

これは$\frac{5}{2}<t≦3$に適さない。

（３）$3≦t<\frac{11}{2}$のとき

$\frac{27}{10}(11-2t)=9$

$t=\frac{23}{6}$

これは$3≦t<\frac{11}{2}$を満たす。

（１）～（３）より

$t=\sqrt{ 5 },\frac{23}{6}$　・・・（答）

以上、2017年度（平成29年度）岡山朝日高校入試の数学大問５の解説でした。

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