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岡山朝日高校 学力検査自校作成問題【数学】平成29年度(2017年度)入試 大問4 解説

【岡山朝日高校過去問解説シリーズ】

今回は、2017年(平成29年)岡山朝日高校入試の数学大問4の解説です。

問題は岡山朝日高校公式HPからダウンロードしてください。

あくまで【解説】なので、解答ではありません。(単位はつけましょう。)

どのような思考・手順で解けばよいのかに重点を置いています。

まずは時間を測りながら、自力で解いてみて、その後に読むようにしてください。

途中式や計算、証明問題などで簡単なところは省略している場合があります。

記述問題の解答は、岡山朝日高校公式HPにある解答例を参考にしてください。

問題の難易度を★の数で表しています。★1~2個の問題は必ず解けるように。

目安時間以内に解ければ、制限時間45分以内に完答できるでしょう。

大問4 平面図形【目安時間:13分】

①★円周角の定理【目安時間:2分】

円周角の定理
【1】1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である。
【2】同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

(ア)円周角の定理①より

∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BDC=45° ・・・(答)

(イ)円周角の定理①より

∠ADC=2∠ABC=60°

AD=CDより△ADCは正三角形

よってAC=$\sqrt{ 2 }$ ・・・(答)

②★相似の証明【目安時間:3分】

三角形の相似条件
【1】3組の辺の比がすべて等しい。
【2】2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
【3】2組の角がそれぞれ等しい。

三角形の相似条件では【3】が最も多く使われています。

△ABCと△EACにおいて

∠ACB=∠ECA(共通)であることはすぐにわかります。

あとはもう一つ角が等しいことが言えればOK。

∠EAC=∠BAC-∠BAE=45°-15°=30°

よって、∠ABC=∠EAC

これで相似条件【3】が使えますね。

➂★★★面積など【目安時間:7分】

計算等にやや時間がかかる問題です。(特に(イ))

(ア)

∠ABD=∠CBD-∠ABC=45°-30°=15°

∠ABD=∠BAEで錯角の関係より

DB//AEということがわかります。

したがって、AE⊥DC

AEとDCの交点をHとすると、△AHCは直角三角形で、

直角三角形の辺の比は【1:2:$\sqrt{ 3 }$】になります。

よって、CH=$\frac{\sqrt{ 2 }}{2}$

$\frac{\sqrt{ 2 }}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$とした方が計算はしやすいでしょう。

△CEHは直角二等辺三角形であるから、

CE=$\frac{1}{\sqrt{ 2 }}×\sqrt{ 2 }$=1 ・・・(答)

(イ)

△ABE=$\frac{1}{2}$×AE×DH

で求められます。

DH=$\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$

AE=AH+HE=$\frac{\sqrt{ 6 }}{2}+\frac{\sqrt{ 2 }}{2}$=$\frac{\sqrt{ 6 }+\sqrt{ 2 }}{2}$

よって、△ABEの面積は、

$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{ 6 }+\sqrt{ 2 }}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$

=$\frac{\sqrt{ 3 }+1}{4}$ ・・・(答)

計算の工夫がないと時間がかかると思います。

平方根でも約分ができるようにしておきましょう。

(ウ)

どうやって求めたらよいかわからない人もいるかもしれません。

回転してできる図形がイメージできたかどうかがポイントです。

回転すると円になるのはわかっていると思います。

辺AEを点Cを中心に回転させると、半径がCHの円ができます。

半径がBCの円の面積から半径がCHの円の面積を引けば求められます。

点EはBCの中点であるから(中点連結定理、あるいはAEがDCの垂直二等分線より)

BC=2

よって、

$2^2π-(\frac{1}{\sqrt{ 2 }})^2π=\frac{7}{2}π$ ・・・(答)

以上、2017年度(平成29年度)岡山朝日高校入試の数学大問4の解説でした。

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