岡山朝日高校　学力検査自校作成問題・数学　平成18年度（2006年度）入試問題解説

【岡山県立岡山朝日高等学校過去問解説シリーズ】

今回は、2006年（平成18年）岡山朝日高校入試の数学の解説です。

問題は岡山県立岡山朝日高等学校公式ＨＰからダウンロードしてください。

あくまで【解説】なので、どのような思考・手順で解けばよいのかに重点を置いています。

まずは時間を測りながら、自力で解いてみて、その後に読むようにしてください。

途中式や計算、証明問題などで簡単なところは省略している場合があります。

記述問題の解答は、岡山県立岡山朝日高等学校公式ＨＰにある解答例を参考にしてください。

問題の難易度を★の数で表しています。★１～２個の問題は必ず解けるように。

目安時間以内に解ければ、制限時間４５分以内に完答できるでしょう。

大問１【目安時間：6.5分】

①★平方根の計算【目安時間：20秒】

定番の平方根の計算です。

計算を少しでも速く解くために、いくつか計算の工夫ができるとよいでしょう。

例えば、$\sqrt{ 75 }$

簡単な形にするために素因数分解をやっていると時間がかかります。

$5^2$=25の倍数がすぐに出てくるようになると便利です。

25,50,75,100,・・・

75は25×3ですから$5\sqrt{ 3 }$とすぐにできるようになります。

そして、$(\sqrt{ 6 }-\sqrt{ 24 })$の部分についても一工夫。

$\sqrt{ 6 }=\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 3 }$と分けて考えられるようになると今回の計算や約分の際に活用できます。

例えば、

$\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 6 }=\sqrt{ 12 }=2\sqrt{ 3 }$

といった計算を

$\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 2 }\sqrt{ 3 }=2\sqrt{ 3 }$

と考えるのです。

このような考えを使うと、今回の計算問題は、

(与式)=$2×5\sqrt{ 3 }-\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 2 }(\sqrt{ 3 }-2\sqrt{ 3 })$

=$10\sqrt{ 3 }-2\sqrt{ 3 }+4\sqrt{ 3 }$

=$12\sqrt{ 3 }$・・・（答）

というふうに解けます。

この通りでなくても良いのですが、12や24といった2桁以上の数の計算に手間取ることなく計算をする工夫はこれからも求められます。

日頃から意識して計算を行いましょう。

②★2次方程式の計算【目安時間：20秒】

2次方程式の計算問題です。

この問題も工夫できましたか？

展開して整理すると時間がかかります。

入試は制限時間があります。

答えが合っていても時間をかけていては最後まで解くことができません。

いくら時間があっても難しくて解けないのは仕方ありませんが、

時間が足りないがために、本当は解ける問題ができなかったということのないようにしたいですね。

問題を見た瞬間、共通因数に気付いたと思います。

$x+3$ですね。

$x+3=A$とおいて考えるとわかりやすいと思います。

$A^2=2A$

$A^2-2A=0$

$A(A-2)=0$

$(x+3)(x+3-2)=0$

$(x+3)(x+1)=0$

$x=-3,-1$

計算に慣れてくれば、上記のように【文字の置き換え】などをしなくても頭の中でできるところは省いてもOKです。

式一つ書くのにも時間がかかりますからね。

③★★１次関数と$y=ax^2$【目安時間：25秒】

関数の融合問題です。

このようにグラフが示されていない問題も簡単なグラフを書いてイメージ化しましょう。

$y=x^2$を描き、切片が$\frac{8}{3}$である1次関数のグラフを描きます。

傾きはわかりませんが、負であることを見落としてはいけません。

右下がりの直線のグラフになりますね。

ここからわからなくなった人もいるでしょう。

$x$の変域が-1≦$x$≦2ですから、

$y=x^2$における$y$の変域が0≦$y$≦4であることがわかります。

※この変域を間違える人も少なくないでしょう。

$y$の変域が等しいということは、

$y=ax+\frac{8}{3}$のグラフでも

-1≦$x$≦2のとき、0≦$y$≦4とならなければいけません。

$y=ax+\frac{8}{3}$で$y=0$となるのは、$x$軸との交点です。

$y=ax+\frac{8}{3}$のグラフは右下がりのグラフなので、

$x$の値が-1から2に増加している間、$y$の値は減少していきます。

つまり、$x=-1$の時$y$は最大となるので4、$x=2$の時$y$は最小となるので0ということがわかります。

よって、$y=ax+\frac{8}{3}$に(2,0)を代入して、

※(-1,4)を代入してもよいが、計算が楽な方を選びましょう。

$a=-\frac{4}{3}$・・・（答）

④★立体図形【目安時間：30秒】

円錐（すい）の体積の問題です。

求め方は、底面積×高さ×$\frac{1}{3}$ですね。

底面は円ですから、その円の半径と円錐の高さが分かれば求められます。

中心角が216°ですから、

$\frac{216}{360}=\frac{3}{5}$となります。

よって底面の円の半径は3ということになります。（※後で説明）

側面の扇形の半径5は円錐の母線になるので、

上の図のようになり、直角三角形の辺の比【3:4:5】から高さは4cmだとわかります。

よって円錐の体積は、

$3^2π×4×\frac{1}{3}=12π$・・・（答）

直角三角形の辺の比、そして底面の円の半径の求め方を知っておくと、

かなり早く解けることがわかると思います。

底面の円の半径の求め方については、以下を読んでください。

⑤★確率【目安時間：30秒】

確率の問題です。

場合の数を求める際に、樹形図などを使って、全て書き出すのは時間のロスになります。

計算で解けるようになれば随分早く解けるようになります。

まず、５枚のうち２枚をひいて並べる並べ方は、

5×4=20（通り）

そのうち4の倍数であるものは、

12,24,32,52　の4通り。

よって、$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$・・・（答）

⑥★★★平面図形【目安時間：４分】

平面図形の問題です。

このくらいのレベルの問題が、差になってくるのではないかと思います。

ある人にとっては４分もかからないでしょうし、ある人にとっては地獄のように難しくて時間をかけても解けないかもしれません。

★のかずや目安時間はあまり気にしないでください。

４分以内で解ければいいかな～くらいで。

解説を見て、あ～そっか！と思うでしょう。

でも、それに自分で気づけるようにならないといけません。

そのためには条件を一つずつ確認し、分かったことから他にわかることがないのか、

見落としがないかを「よく考えること」です。

考える力などといいますが、普段からよく考える習慣をつけていないといざという時に考えることはできません。

【考える習慣】を身につけて応用問題に果敢にチャレンジしていくこと！

さて、問題の解説です。

与えられた条件からわかるところをドンドン見つけていきましょう。

中心Oと接線を結ぶ半径は、接線と直交（垂直に交わること）します。

よって、

∠OAC=∠OBC=90°

DE//AOより∠EDC=90°

△EDCで∠DEC=60°

DEと円Oの接点をFとすると、

∠OFE=90°

ここまでで、四角形AOFDは正方形であることがわかります。

よって、DF=3

直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので（共通辺、半径）

△OBE≡△OFE

したがって、∠OEF=$\frac{180°-60°}{2}$=60°　←ここに気付けるかどうかがポイント

△OFEで直角三角形の辺の比【1：1：$\sqrt{ 3 }$】を利用して、

EF=$\frac{OF}{\sqrt{ 3 }}=\frac{3}{\sqrt{ 3 }}=\sqrt{ 3 }$

ゆえに

DE=DF+EF=$3+\sqrt{ 3 }$・・・（答）

これが解けないと次の面積も求められません。

五角形AOBED=正方形AOFD+△OFE×2

=$3^2+(\frac{1}{2}×\sqrt{ 3 }×3)×2$

=$9+3\sqrt{ 3 }$　・・・（答）

図形問題を解く際には、

・与えられた条件を図に書き込む！

・条件から基礎知識を駆使して【よく考えて】突破口を見つける！

大問２【目安時間：11分】

（問1）★連立方程式の応用【目安時間：3分】

模範解答を参考にしてください。

よく見るような問題ですね。

こういった問題こそケアレスミスには気をつけましょう。

（問2）★★一次関数の応用【目安時間：8分】

①　（0，0）、（2，1）、（4，2）の3個。

②　$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことを格子点といいますが、条件Pを満たす点は、0≦$x$≦4，0≦$y$≦3（直線（1）と直線（3）の交点より）ということがわかるので、$x$＝1，2，3の時に、それぞれ条件Ｐを満たしているかを考えます。式だけで考えるのではなく、グラフを描いて考えることがポイントです。

まず、$x＝1$のとき、直線（1）上の点は$y＝3$、直線（2）上の点は$y＝\frac{1}{2}$より、$y＝1，2，3$は条件Ｐを満たすということがわかります。

同様に、$x＝2,3$の時も考えてみてください。この場合は、直線（2）と直線（3）の間で考えます。

$x＝2$のときは、$y＝1，2，3$、$x＝3$のときは、$y＝2$が条件を満たします。

$x＝0，4$のときは、それぞれ1個なので、合計9個ということになります。

③　ここまで、グラフを描いて位置関係をしっかりと把握していた人にとっては解きやすい問題です。

直線（3）の傾きを変化させることによって、格子点の個数は変わりますが、$a＝-\frac{1}{2}$よりも傾きを小さくする（負の値なので$a$を小さくするほど「急な坂」になる）ことで、格子点の個数は増えていくことがわかります。

$a=-1$にすると、ちょうど（3，3）、（2，4）を通り、格子点が2個増えますね。

更に傾きを小さくすると、$a=-\frac{3}{2}$のときに（2，5）を通り、1個増えてしまうので、これを含まないギリギリの範囲までということで、$-\frac{3}{2}＜a≦-1$になります。

大問３【目安時間：8分】

①　★作図【目安時間：1分】

基本の作図ですね。説明は不要でしょう。

②　★相似の証明【目安時間：2分】

証明は模範解答の通りです。2角が等しいことはすぐにわかると思います。

③　★★三平方の定理・立体の体積【目安時間：5分】

（ア）∠BAE＝30°より∠ABE＝60°だから、∠PBC＝30°

よって△PBCは辺の比が$1：2：\sqrt{ 3 }$の直角三角形だとわかるので、BC=2よりPC=$\frac{2\sqrt{ 3 }}{3}$

②の相似より△PFCの辺の比も$1：2：\sqrt{ 3 }$だから、PF=$\frac{\sqrt{ 3 }}{3}$

（イ）点Fから線分PCに引いた垂線と線分PCとの交点をHとすると、△PFHと△FCHも辺の比が$1：2：\sqrt{ 3 }$の直角三角形となる。

このことから、FH＝$\frac{1}{2}$、PC＝$\frac{2\sqrt{ 3 }}{3}$が求められるので、立体の体積は、

$π(\frac{1}{2})^2×\frac{2\sqrt{ 3 }}{3}×\frac{1}{3}$＝$\frac{\sqrt{ 3 }}{18}π$

大問４【目安時間：11.5分】

①　★二次関数の基本【目安時間：0.5分】

点Bの座標を$y=ax^2$に代入して求める。このレベルの基本問題も出るので、さっさと解いて、難しそうな問題に時間をできるだけ回しましょう。

②　★二次関数の基本【目安時間：0.5分】

点Aのｙ座標は4であるから、$y=\frac{1}{4}x^2$に代入してｘ座標を求める。これもすぐ解ける。

③　★一次関数の基本【目安時間：0.5分】

点B（-2，1）を通り、傾きが2の直線の式であるから、これも時間がかからないでしょう。

④　★★関数の応用【目安時間：5分】

模範解答の通りでOK。答えを求める過程を書くのに少し時間がかかる程度。答えを出すだけなら底辺の長さの比ですぐに出せる。

⑤　★★関数の応用【目安時間：5分】

模範解答の通りでOK。

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