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岡山朝日高校 学力検査自校作成問題・数学 平成16年度(2004年度)入試 大問1 解説

【岡山朝日高校過去問解説シリーズ】

今回は、2004年(平成16年)岡山朝日高校入試の数学大問1の解説です。

問題は岡山朝日高校公式HPからダウンロードしてください。

あくまで【解説】なので、どのような思考・手順で解けばよいのかに重点を置いています。

まずは時間を測りながら、自力で解いてみて、その後に読むようにしてください。

途中式や計算、証明問題などで簡単なところは省略している場合があります。

記述問題の解答は、岡山朝日高校公式HPにある解答例を参考にしてください。

問題の難易度を★の数で表しています。★1~2個の問題は必ず解けるように。

目安時間以内に解ければ、制限時間45分以内に完答できるでしょう。

大問1【目安時間:5.5分】

①★文字式の計算【目安時間:25秒】

分数の引き算です。

分数の加法・減法では、まず通分をします。

よく「分数を含む方程式の解法」のように分母の最小公倍数をかけて整数の形にしてしまう人がいます。

$\frac{x+2}{2}+\frac{2x-1}{3}$

$=3(x+2)+2(2x-1)$

【文字式の計算】と【方程式の解法】を混同しないように気を付けましょう。

通分する際は、1つの分数としてまとめると計算ミスが起こりにくいです。

(与式)=$\frac{9(x-2)-2(3x-4)}{6}$

$=\frac{9x-18-6x+8}{6}$ ←特にココ。符号に注意!

$=\frac{3x-10}{6}$・・・(答)

②★連立方程式【目安時間:30秒】

連立方程式の問題です。

解法として「加減法」と「代入法」がありますが、ほとんどの人が連立方程式を「加減法」のみで解いています。

場合によっては、「代入法」の方が簡単に短時間で解ける問題もありますので、日頃から代入法を使えるようにしておきましょう

代入法で解けばよいか見分けるには$x$または$y$の係数が1であるかどうかで判断します。

係数が1であれば$x=$~、$y=$~の形にでき、もう一方の式に代入できます。

今回の問題は、どちらの解法でも対して時間は変わらないと思います。

以下、

$5x+y=7$・・・①

$x-2y=8$・・・②

として解説します。

<代入法>

②より$x=2y+8$・・・③

③を①へ代入

$5(2y+8)+y=7$

$y=-3$

これを③へ代入

$x=2$

よって、$x=2,y=-3$・・・(答)

<加減法>

①×2+②より

$11x=22$

$x=2$

これを②へ代入

$2-2y=8$

$y=-3$

よって、$x=2,y=-3$・・・(答)

③★平方根【目安時間:15秒】

平方根の問題です。

平方根が自然数になる条件は、$\sqrt{ a^2 }=a$です。

つまり、$60n$がある数の2乗になればよいですね。

では、ある数って何??

ここで、60を素因数分解します。

$60=2^2×3×5$

2は2乗になっています。

3や5も2乗になっていれば、$(2×3×5)^2$の形になり、自然数(2×3×5=30)になれます。

よって$n=3×5=15$・・・(答)

④★確率【目安時間:2分】

確率の問題です。

よく問題を読んで、条件を確認してください。

見落としたり勘違いしたりすると、時間がかかり正解までたどりつけないです。

まず、5枚のカードを2回取り出す場合の数を考えます。

分母になる数ですね。

注意しなければならないのは、1回取り出した後に袋に戻している点です。

1回目に取り出す場合の数は1~5の5通り、2回目も1~5の5通りなので、

$5×5=25$(通り)

次に、条件である【三角形ができない】場合を考えます。

3点は座標で示されているので、3点の位置関係をイメージしやすくするために座標を描きましょう。

(3,0)は固定された点ですが、残り2点はそれぞれ$y=1$、$y=2$上にある点です。

【三角形ができない】条件は、3点が一直線上に並ぶときです。

それ以外のときは三角形ができます。

すなわち、$a=2,b=1$のとき、$a=3,b=3$のとき、$a=4,b=5$のときの3通りです。

よって、$\frac{3}{25}$・・・(答)

⑤★$y=ax^2$【目安時間:20秒】

AB=4で△AOBの面積が4より

A,Bの$y$座標は2であることがわかります。

(このあたりの計算は、暗算でできるとよいです)

よって、A(-2,2),B(2,2)

$y=ax^2$に代入すれば$a=\frac{1}{2}$

⑥★★平面図形(円と三角形)【目安時間:2分】

平面図形の問題です。

こういった問題は、あれこれ考えても答えになかなかたどり着かない人が多いかもしれません。

なかなか角度が出せない場合は、求める角を$x$として方程式で解くことを考えてみましょう。

解き方は1通りではありません。

△ABOと△AODはそれぞれ3辺のうち2辺が半径で等しいことから、二等辺三角形だとわかります。

∠BAO=51°だから∠AOC=102°

※ポイント 三角形の2つの内角の和は、残り一つの内角の外角と等しいことを利用。

∠DOC=$x$とすると

∠OAD=∠ODA=$2x$

<解法1>

∠AOB=$180-102=3x$

$x=26$・・・(答)

<解法2>

△ABCで三角形の内角の和より

$51+51+2x+x=180$

$x=26$・・・(答)

以上、2004年(平成16年)岡山朝日高校入試の数学大問1の解説でした。

大問2はこちらをクリック↓

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