岡山朝日高校　学力検査自校作成問題・数学　平成16年度（2004年度）入試問題解説

【岡山朝日高校過去問解説シリーズ】　　

今回は、2004年（平成16年）岡山朝日高校入試数学の解説です。

問題は岡山朝日高校公式ＨＰからダウンロードしてください。

あくまで【解説】なので、どのような思考・手順で解けばよいのかに重点を置いています。

まずは時間を測りながら、自力で解いてみて、その後に読むようにしてください。

途中式や計算、証明問題などで簡単なところは省略している場合があります。

記述問題の解答は、岡山朝日高校公式ＨＰにある解答例を参考にしてください。

問題の難易度を★の数で表しています。★１～２個の問題は必ず解けるように。

目安時間以内に解ければ、制限時間４５分以内に完答できるでしょう。

大問１【目安時間：5.5分】

①★文字式の計算【目安時間：25秒】

分数の引き算です。

分数の加法・減法では、まず通分をします。

よく「分数を含む方程式の解法」のように分母の最小公倍数をかけて整数の形にしてしまう人がいます。

例

$\frac{x+2}{2}+\frac{2x-1}{3}$

$=3(x+2)+2(2x-1)$

【文字式の計算】と【方程式の解法】を混同しないように気を付けましょう。

通分する際は、１つの分数としてまとめると計算ミスが起こりにくいです。

(与式)=$\frac{9(x-2)-2(3x-4)}{6}$

$＝\frac{9x-18-6x+8}{6}$　←特にココ。符号に注意！

$=\frac{3x-10}{6}$・・・（答）

②★連立方程式【目安時間：30秒】

連立方程式の問題です。

解法として「加減法」と「代入法」がありますが、ほとんどの人が連立方程式を「加減法」のみで解いています。

場合によっては、「代入法」の方が簡単に短時間で解ける問題もありますので、日頃から代入法を使えるようにしておきましょう。

代入法で解けばよいか見分けるには$x$または$y$の係数が１であるかどうかで判断します。

係数が１であれば$x=$～、$y=$～の形にでき、もう一方の式に代入できます。

今回の問題は、どちらの解法でも対して時間は変わらないと思います。

以下、

$5x+y=7$・・・①

$x-2y=8$・・・②

として解説します。

＜代入法＞

②より$x=2y+8$・・・③

③を①へ代入

$5(2y+8)+y=7$

$y=-3$

これを③へ代入

$x=2$

よって、$x=2,y=-3$・・・（答）

＜加減法＞

①×2+②より

$11x=22$

$x=2$

これを②へ代入

$2-2y=8$

$y=-3$

よって、$x=2,y=-3$・・・（答）

③★平方根【目安時間：15秒】

平方根の問題です。

平方根が自然数になる条件は、$\sqrt{ a^2 }=a$です。

つまり、$60n$がある数の２乗になればよいですね。

では、ある数って何？？

ここで、60を素因数分解します。

$60=2^2×3×5$

2は2乗になっています。

3や5も2乗になっていれば、$(2×3×5)^2$の形になり、自然数(2×3×5＝30)になれます。

よって$n=3×5＝15$・・・（答）

④★確率【目安時間：２分】

確率の問題です。

よく問題を読んで、条件を確認してください。

見落としたり勘違いしたりすると、時間がかかり正解までたどりつけないです。

まず、５枚のカードを２回取り出す場合の数を考えます。

分母になる数ですね。

注意しなければならないのは、１回取り出した後に袋に戻している点です。

１回目に取り出す場合の数は１～５の５通り、２回目も１～５の５通りなので、

$5×5=25$（通り）

次に、条件である【三角形ができない】場合を考えます。

３点は座標で示されているので、３点の位置関係をイメージしやすくするために座標を描きましょう。

(3,0)は固定された点ですが、残り２点はそれぞれ$y=1$、$y=2$上にある点です。

【三角形ができない】条件は、３点が一直線上に並ぶときです。

それ以外のときは三角形ができます。

すなわち、$a=2,b=1$のとき、$a=3,b=3$のとき、$a=4,b=5$のときの３通りです。

よって、$\frac{3}{25}$・・・（答）

⑤★$y=ax^2$【目安時間：20秒】

AB=4で△AOBの面積が４より

A,Bの$y$座標は２であることがわかります。

（このあたりの計算は、暗算でできるとよいです）

よって、A(-2,2),B(2,2)

$y=ax^2$に代入すれば$a=\frac{1}{2}$

⑥★★平面図形（円と三角形）【目安時間：２分】

平面図形の問題です。

こういった問題は、あれこれ考えても答えになかなかたどり着かない人が多いかもしれません。

なかなか角度が出せない場合は、求める角を$ｘ$として方程式で解くことを考えてみましょう。

解き方は１通りではありません。

△ABOと△AODはそれぞれ3辺のうち2辺が半径で等しいことから、二等辺三角形だとわかります。

∠BAO=51°だから∠AOC＝102°

※ポイント　三角形の２つの内角の和は、残り一つの内角の外角と等しいことを利用。

∠DOC＝$ｘ$とすると

∠OAD=∠ODA=$2x$

＜解法１＞

∠AOB=$180-102＝3ｘ$

$ｘ＝26$・・・（答）

＜解法２＞

△ABCで三角形の内角の和より

$51+51+2x+x=180$

$ｘ＝26$・・・（答）

以上、2004年（平成16年）岡山朝日高校入試の数学大問１の解説でした。

大問２【目安時間：6.5分】

①★直線の方程式【目安時間：30秒】

直線の方程式を求める問題です。

点B(2,10)、点C(7,0)より求められるのですが、

連立方程式を利用して求めるパターンが多く見られます。

それよりも傾きを先に求めてから切片を求める方法をおすすめします。

傾きの求め方は、

$\frac{yの増加量}{xの増加量}$

変化の割合の求め方と同じです。

$x$の増加量は2⇒7で5

$y$の増加量は10⇒0で-10

よって、$\frac{-10}{5}=-2$

$y=-2x+b$に(7,0)を代入して

※代入する座標は計算が楽な方を選びます。

$b=14$

したがって、$y=-2x+14$　・・・（答）

②★直線の方程式の利用【目安時間：1分】

この問題も直線の方程式をまずは求めます。

点A(0,-6)、点B(2,10)より

傾きは$\frac{10-(-6)}{2-0}=8$

切片は-6

よって、直線ABの方程式は、

$y=8x-6$

直線$y=k$と線分ABの交点Qの$x$座標は

$k=8x-6$

$x=\frac{k+6}{8}$　・・・（１）

したがって、交点Qの$x$座標は　$\frac{k+6}{8}$　・・・（答）

③★★線分の長さ【目安時間：1分】

①より直線BCの方程式は$y=-2x+14$

よって、直線$y=k$と線分BCの交点Rの$x$座標は

$k=-2x+14$

$x=\frac{-k+14}{2}$　・・・（２）

したがって、線分QRの長さは（１）と（２）の差であるので、

$\frac{-k+14}{2}-\frac{k+6}{8}=\frac{-5k+50}{8}$　・・・（答）

④★★三角形の面積【目安時間：1分】

三角形の面積を求めます。

底辺をAP、高さをPQとして考えます。

$AP=k-(-6)=k+6$　（点Aと点Pの$y$座標の差に等しい）

$PQ=\frac{k+6}{8}$　（点Qの$x$座標に等しい）

よって、△PAQの面積は

$\frac{1}{2}×(k+6)×\frac{k+6}{8}$

$=\frac{(k+6)^2}{16}$　・・・（答）

ところでAPの長さの計算で、$AP=k+6$というように絶対値の和で求める習慣がついていませんか？

これは良くないです。たとえ答えが合っていても、です。

このような計算をする人の多くは次のような間違え方をします。

差は引き算で求めます。

こういった当たり前のことを一つずつきちんと理解していくことが大切だと思います。

⑤★★三角形の面積の関係から$k$の値を求める【目安時間：3分】

△BQRの面積は

底辺をQRとすると

$\frac{(1}{2}×\frac{-5k+50}{8}×(10-k)$

$=\frac{5(10-k)^2}{16}$

※　$-5k+50=5(10-k)$とすることで、式が簡単になる。

△BQR=5△PAQより

$\frac{5(10-k)^2}{16}=5×\frac{(k+6)^2}{16}$

ここから計算を工夫して解きましょう。

両辺に$\frac{5}{16}$がかけてあること、そして$A^2=B^2$の形であることから、

$(10-k)^2-(k+6)^2=0$

$\{(10-k)+(k+6)\}\{(10-k)-(k+6)\}=0$

$16(4-2k)=0$

$2-k=0$

$k=2$　・・・（答）

計算で何をやったのかわかるようにしましたが、多少省いても良いでしょう。

この方が展開して整理するよりも楽です。（模範解答では展開しています）

こういった計算の工夫ができる生徒の方を岡山朝日高校は求めていると思います。

ちなみに、$k$の値は何でもOKではなく、

問題に「直線$y=k$が線分BCと2点B,C以外で交わっている」と書いてあることから、

$0<k<10$です。

答えがこの条件を満たしていることを確認するのを忘れないでください。

例えば$k$の値が複数求められ、上記の範囲外の答えまで含んでいた場合、誤答となります。

高校ではそういったことも多くありますので、今から理解しておくとよいでしょう。

以上、2004年度（平成16年度）岡山朝日高校入試の数学大問２の解説でした。

大問３【目安時間：１３分】

①★平面図形（円の半径、角度）【目安時間：３分】

平面図形の問題です。

（ア）★円Oの半径

△ABCは円Oに内接する三角形で、斜辺ABが円Oの直径にあたるので、直角三角形となります。

※　この知識はよく使います。

∠BAC=30°より直角三角形の辺の比【1：2：\sqrt{ 3 }】を利用して

$AB=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}AC$

$=\frac{2×3}{\sqrt{ 3 }}=2\sqrt{ 3 }$

ここでちょっとした計算の工夫をしています。

$\frac{6}{\sqrt{ 3 }}$として有理化をするのも方法としてありますが、手間がかかります。

あえて【2×3】としているのは、$3=\sqrt{ 3 }×\sqrt{ 3 }$なので、

$\frac{3}{\sqrt{ 3 }}=\sqrt{ 3 }$と約分ができるからです。

ABは円Oの直径なので、円Oの半径は半分の$\sqrt{ 3 }$　・・・（答）

（イ）★円周角の定理

∠BOCは円Oの弧BCに対する中心角です。

同じ弧に対する円周角は∠BAC=30°なので、

円周角の定理

「１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心核の大きさの半分である。」

より、∠BOC=60°　・・・（答）

これより△OBCは正三角形であることがわかります。

（ウ）★円周角の定理

（イ）と同様にして、∠BO’Cが求められます。

円O’の弧BCに対して∠BO’Cは中心角、∠BOCは円周角の関係になります。

よって、円周角の定理より

∠BO’C=120°　・・・（答）

（エ）★直角三角形の辺の比の利用

点O’からBCに垂線をひき、その交点をHとします。

△O’HCは（ウ）より∠HO’C=60°であることがわかるので、

（ア）と同様にして求められます。

直角三角形の辺の比【1：2：$\sqrt{ 3 }$】を利用して、

$O’C=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}HC$となります。

$HC=\frac{1}{2}BC$です。

△OBCは正三角形だからBC=OB=$\sqrt{ 3 }$

よって、$HC=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}$

したがって

$O’C=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}×\frac{\sqrt{ 3 }}{2}=1$　・・・（答）

計算の過程を書くなら上記の考え方で良いのですが、

ここでは答えが求められればOKなので、より早く解くやり方も紹介します。

【1：2：$\sqrt{ 3 }$】の辺の比で、比が【2】にあたる辺から【$\sqrt{ 3 }$】にあたる辺の比を求める場合、あるいはその逆の場合は、計算が面倒に感じる人もいるでしょう。

比例式を使ってa:b=c:dのように解く人もいるでしょうが、これはおススメしません。

【2】(【$\sqrt{ 3 }$】)の辺の長さから、一旦【1】の辺を求めてから、【$\sqrt{ 3 }$】(【2】)を求めるようにすると、暗算でも求められます。

（エ）の問題を例にしてやってみましょう。

HCはO’Hの$\sqrt{ 3 }$倍です。

ということは、O’H=$\frac{1}{2}$となり、O’CはO’Hの2倍なので、１

この考え方は結構便利なのでやってみてください。

※　これはテクニックのように思われますが、大したことではありません。

基礎をきちんと理解して、問題を解いていく中で気づくようなことです。

②★★証明問題【目安時間：４分】

基本的には模範解答を参考にすればよいと思います。

別解としては

三角形の内角と外角の性質

「三角形の１つの外角は、それと隣り合わない２つの内角の和に等しい。」より

∠BPC＝∠PQC+∠PCQだから

∠PCQ＝60°-30°＝30°

このように求めてもよいでしょう。

証明問題の解答としては時短につながりませんが、角度を求めるだけなら早いです。

③★★【目安時間：５分】

（オ）★★直角三角形の辺の比の利用

△PCQは常に30°、30°、120°の二等辺三角形なので、（エ）の解法と同様に考えます。

点PからCQに垂線をひいて、その交点をRとすると、

直角三角形PQRの辺の比は【1：2：$\sqrt{ 3 }$】となるので、

$QR=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}x$

よって、$CQ=\sqrt{ 3 }x$　・・・（答）

（カ）★★$x$の値

PQの長さが最大のとき、CQの長さも最大です。

CQが最大となるのは円Oの直径となるときです。

$CQ=\sqrt{ 3 }x$で、円Oの直径は$2\sqrt{ 3 }$だから、

$\sqrt{ 3 }x=2\sqrt{ 3 }$

$x=2$　・・・（答）

【別解】

△QCBは斜辺が円Oの直径となる直角三角形であり、△ABCと合同な図形であるから、

QB＝3

△BPCも円O’に内接する直角三角形になるからPCは円O’の直径になる。

よってPC＝2、BC=$\sqrt{ 3 }$より（【1：2：$\sqrt{ 3 }$】）

BP＝1

$x=PQ=QB-BP=3-1=2$　・・・（答）

（キ）★★面積

求める面積をSとします。

円O’の面積は$π$

Sは円O’の扇形OO’Pと△OO’Cの和で求められます。

扇形の中心角は60°

これはPB//OO’より錯角であり、OO’//ACより同位角であり、∠HO’Cの対頂角でもあるので、どれを使っても求められます。

$S=\frac{π}{6}+\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{ 3 }}{2}$

$=\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{ 3 }}{4}$　・・・（答）

このように前の問題の答えを利用するような場合は、初めの方で答えを間違えてしまうと連鎖的に間違えるということになります。

一歩間違えれば大問のほとんどが不正解ということになりますので、計算ミスだけはしないようにしましょう。

以上、2004年度（平成16年度）岡山朝日高校入試の数学大問３の解説でした。

大問４【目安時間：１３分】

①★★円の中心を求める作図【目安時間：３分】

作図の問題です。

垂直二等分線や角の二等分線など基本的な作図はできても、

それを活用して解くような問題になると途端に解けなくなる人がいます。

定義を知っているだけではいけません。

それよりも、それぞれの意味をきちんと理解していれば、どのように作図をすればよいのかがわかるようになります。

また、円についても同様に

平面上の1点から等しい距離にある点の集まり

と理解しておきます。

この問題では、「3辺AB,BC,CDに同時に接する円の中心Oの位置」を考えます。

円の接線は、接点を通る半径に垂直です。

つまり、中心Oから3辺AB,BC,CDまでの距離は、すべて等しいです。

角の二等分線は「角の2辺から等しい距離にある点の集まり」であるから、

これを利用すれば中心Oが求められるということになります。

よって、∠ABCの二等分線と∠BCDの二等分線の交点が点Oということになります。

ところが、問題の条件に「辺BCの垂直二等分線を引き」とあります。

円Oと辺BCの接点を通り垂直な直線ですから、点Oはこの垂直二等分線上にあると言えます。

ということはもう1本、∠ABCの二等分線あるいは∠BCDの二等分線を引けば円の中心Oが求められます。

作図に用いた線は残しておくのが当然ですが、どこが点Oなのかわかるように「O」も記入することを忘れないように。

②★★★回転体の体積【目安時間：５分】

回転体の体積の問題です。

いわゆる「プリン型」ですね。

以下のようなイメージです。

大抵は円錐の体積を利用して大きい円錐から小さい円錐を引いて求める解き方でよいです。

ちなみに台形ABCDは左右対称で「等脚台形」といいます。

点Cから辺ADに垂線を引いて、その交点をHとします。

△CDHで

DH=$\frac{16-6}{2}=5$

三平方の定理から

$CH=\sqrt{ 13^2-5^2 }=12$

※　三平方の定理を使わずとも、直角三角形の辺の比【5：12：13】を知っていればすぐに求められます。【3：4：5】と同様、役に立つでしょう。

辺AD,BCの中点をそれぞれE,Fとして、直線EF,DCの交点をGとします。

△DHCと△DEGは相似であることから、

DH:HC=DE:EG

5:12=8:EG

EG=$\frac{96}{5}$

よって、求める回転体の体積は

$\frac{1}{3}×8^2π×\frac{96}{5}-\frac{1}{3}×3^2π×(\frac{96}{5}-12)$

$=388π$　・・・（答）

【別解】

体積比を利用する解き方もあります。

体積比は相似比の3乗です。

大小の円錐の体積比はそれぞれ$8^3$,$3^3$であるから、プリンの体積比は

$8^3-3^3=485$

よって、

$\frac{1}{3}×8^2π×\frac{96}{5}×\frac{485}{8^3}$

$=388π$　・・・（答）

③★★★球の半径【目安時間：５分】

半径$r$が最大となるときはボールの上端が容器の上面と接するときです。

立体図形は平面で考えると解きやすいです。（切断、展開図など）

模範解答のように三角形の相似を用いて解くのがスマートだと思います。

【別解】

△AGDの面積は

△AGD=$\frac{1}{2}×16×\frac{96}{5}$　・・・（あ）

また半径$r$を用いて△AGDの面積を考えると

△AGD=△AO’D+△AO’G+△GO’D

=$\frac{1}{2}(16+GD+GA)×r$　・・・（い）

GD、GAは相似を用いて$\frac{104}{5}$になるから

（あ）=（い）より

$r=\frac{16}{3}$　・・・（答）

以上、2004年度（平成16年度）岡山朝日高校入試の数学大問４の解説でした。

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