5月7日~特別講習会実施中。通常授業は5月21日~。中3生、高校生は満席となりました。

数学の証明問題

オープンチャット「爆裂個人塾長座談会閲覧所」

 

で書き込みのあった、中2の保護者の方への回答になります。

 

質問

 

中2の保護者です。

今、数学で、証明の問題をしています。

 

何か、子どもが理解できるコツ等があれば教えて下さい。

 

回答

 

中2の数学の証明ということは、

 

三角形の合同の証明が主だと思います。

 

サンライズで、指導している様子を

 

動画でアップするのが一番かなと思いましたが、

 

つい先日その授業が終わってしまったので、文章で説明します。

 

証明問題のみならず、国語や英語の作文は、

 

文章の型を理解するとよいです。

 

3つの合同条件

 

ご存じの通り、

 

三角形の合同条件は3つあります。

 

① 3辺の長さがそれぞれ等しい。

 

② 2辺の長さとその間の角がそれぞれ等しい。

 

③ 1辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しい。

 

図形の中から、合同な三角形を見つけるコツは、

 

上の3条件を意識しながら探すことです。

 

与えられた条件(仮定)を

 

正三角形なら3辺が等しい、

 

3つの角が等しいなど、

 

全て図に書き込みます。

 

その後、例えば、

 

2辺の長さが等しいまでわかった場合、

 

考えられる合同条件は、①か②の2つに絞られます。

 

大抵の場合、3辺とも等しいということは少ないでしょうから、

 

(残りの辺が等しいとは証明できないとわかれば、)

 

②の条件を使うという道筋ができます。

 

初めに大まかな証明の道筋を決めておく

 

苦手な子でよく見られるのが、

 

「証明を書きながら、考える」ということです。

 

証明は作文のようなものです。

 

書くことも決まっていないのに書けません。

 

思い付いたことをその順番で羅列してもダメ。

 

書く前に、予め頭の中で書くことをイメージしましょう。

 

・どの三角形の合同を証明するのか。

 

・合同条件はどれを使うか。

 

・どこが等しいのか。

 

特に、最後の「どこが等しいのか」は、

 

説明しにくい場合もあるでしょう。

 

「頭ではわかっているんだけど、何て書けばよいのかわからない」

 

というやつです。

 

これは、自分の言葉では書けないわけですから、

 

模範解答を参考にするなどして、練習するとよいでしょう。

 

パターンが多くないので、書き方が徐々にわかるようになるはず。

 

さあ、証明を書こう!

 

証明が書けない子は、模範解答を見ても、

 

うまく書けない子がいます。

 

証明の雛形を示しますので、その通りに書くことを意識してください。

 

【例題】

上の図で、AB//CD、AB=CDであるとき、

AE=DEであることを証明せよ。

 

【解答】( )は行数

(1) △ABEと△DCEにおいて、

(2) 仮定より AB=CD・・・①

(3) AB//CDより、平行線の錯角は等しいので

(4) ∠EAB=∠EDC・・・②

(5) ∠EBA=∠ECD・・・③

(6) ①,②,③より、1辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しいので、

(7) △ABE≡△DCE

(8) よって AE=DE

 

以上を解説します。

 

仮定は AB//CD、AB=CD

 

結論は AE=DE

 

結論にもっていくには、それぞれの辺を含む三角形の

 

合同を証明すればよいわけです。

 

ここでは、△ABEと△DCEになります。

 

仮定より、1辺が等しいことはわかっています。

 

後は、平行線の性質を利用して、2つの角が等しいことも言えますね。

 

ここでは必要ありませんが、対頂角が等しいことも見つけられます。

 

合同条件③を使えばよいですね。

 

(1) 三角形の合同条件を証明するためには、

 

まず、どの三角形に注目するのかを言わなければいけません。

 

「において」は「で」でも構いません。

 

(2) 条件は、挙げやすいものからで構いません。

 

仮定はそのまま使えますから、書きやすいです。

 

ここで注意すべきなのは、

 

「仮定より」の後には、等式をもってくるということです。

 

「問題に書いてある等式」

 

これをそのまま条件として使いたい場合に、

 

「仮定より」という言葉を使ってください。

 

(3) AB//CDはそのままでは使えません。

 

条件として言いたいのは角です。

 

この場合、

 

「AB//CDより、∠EAB=∠EDC」

 

とせず、必ず理由(根拠)を入れてください。

 

「平行線の錯角は等しいので」

 

「共通な辺なので」

 

「平行四辺形の向かい合う辺は等しいので」

 

もちろん、性質を知らないと書けません。

 

覚えてください。

 

時々、理由を省いてある模範解答がありますが、

 

理由をつけた方がよりわかりやすくなります。

 

いるか、いらないかの判断はなかなかできないでしょうから、

 

「必ず書く」ということにしてください。

 

(4)(5) 等式は、1行に一つずつ書いてください。

 

数学では、「。(句点)」を使いません。

 

その代わりに、改行することで読みやすくしています。

 

(6)(7) 3つの条件を挙げたら、等式の後ろに番号をつけておくと、

 

どの番号から合同条件が言えるのかがわかります。

 

(8) 最後に結論です。

 

ここでは、「よって」を使いましたが、

 

同義語として「ゆえに」「したがって」を使ってもよいです。

 

最後に

 

非常に長い説明になりましたが、

 

「型通りに書く」

 

ことが基本です。

 

まずはこれができるようになれば、

 

その他の問題も解きやすくなりますし、

 

模範解答の意味がわかるようになるでしょう。

 

証明問題は公立入試に必ず出題されます。

 

是非、克服してくださいね!

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