岡山朝日高校　学力検査自校作成問題【数学】平成29年度（2017年度）入試　大問１　解説

【岡山県立岡山朝日高等学校過去問解説シリーズ】

今回は、2017年（平成29年）岡山朝日高校入試の数学大問１の解説です。

問題は岡山県立岡山朝日高等学校公式ＨＰからダウンロードしてください。

あくまで【解説】なので、解答ではありません。（単位はつけましょう。）

どのような思考・手順で解けばよいのかに重点を置いています。

まずは時間を測りながら、自力で解いてみて、その後に読むようにしてください。

途中式や計算、証明問題などで簡単なところは省略している場合があります。

記述問題の解答は、岡山県立岡山朝日高等学校公式ＨＰにある解答例を参考にしてください。

問題の難易度を★の数で表しています。★１～２個の問題は必ず解けるように。

目安時間以内に解ければ、制限時間４５分以内に完答できるでしょう。

※スマートフォンでご覧になると、数式が文字化けしている場合があります。その際は、最下部にて「モバイルバージョンを終了」すると正常に見ることができます。

大問１【目安時間：10分】

①★文字式の利用【目安時間：１分】

２次式の利用の問題です。

一般的には文字式を簡単な式に整理してから代入します。

$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$

$x=2+\sqrt{ 3 }$を代入して

$(\sqrt{ 3 }+3)(\sqrt{ 3 }-1)$

$=\sqrt{ 3 }(\sqrt{ 3 }+1)(\sqrt{ 3 }-1)$　＊

$=2\sqrt{ 3 }$　・・・（答）

＊のところで$\sqrt{ 3 }$を因数とする発想があるとよいですね。

②★★球の表面積、指数【目安時間：３分】

球の表面積は$S=4πr^2$

気を付けないといけないのは、単位です。

6400㎞に対して、表面積は㎡です。

$4π(6400000)^2=2^2π(8^2×10^5)^2$

$=2^2×(2^6×2^5×5^5)^2π$

$=2^2×(2^{11}×5^5)^2π$

$=2^{24}×5^{10}π$

よって

$m+n=34$　・・・（答）

➂★★1次関数【目安時間：２分】

$x$の変域が$0≦x≦b$のとき

$y=-2x+5$の最大値（最も大きい$y$の値）は5（$x=0$のとき）

最小値は（最も小さい$y$の値）は$x=b$のときです。

$y=ax-1$のグラフは切片が-1であることから、$y$の変域が一致するとき

$a>0$で最大値は5（$x=b$のとき）、最小値は-1（$x=0$のとき）だとわかります。

（色んなパターンを考えてみると、上記以外は条件に当てはまらないことがわかります。）

よって$y=-2x+5$に$(b,-1)$を代入して

$-1=-2b+5$

$b=3$　・・・（答）

$y=ax-1$に$(3,5)$を代入して

$5=3a-1$

$a=2$　・・・（答）

④★★反比例、変化の割合【目安時間：１分】

「$x$の値が-4から-2まで増加するときの変化の割合が-2」

このことから、グラフは第３象限（座標平面において、$x$も$y$も共に負の値を取る領域）であることがわかります。

「$x$の値が-4から-2まで」・・・第２象限または第３象限

「変化の割合が-2」・・・$x$の値が-4と-2のときのグラフ上の点を結ぶと傾きが負（右下がり）

$x$の増加量は2だから、$y$の増加量は-4

$y=\frac{a}{x}$に-2，-4を代入すると$y$の増加量は$-\frac{a}{4}$

よって$a=16$　・・・（答）

⑤★平均【目安時間：１分】

平均の問題です。

この問題は、解き方によって随分時間が違うと思います。

面倒で時間がかかるやり方は推奨しません。

以下の考えで解くと大幅に時間短縮できると思います。

ポイントは「平均点の最も大きな場合の値と最も小さな場合の値の差」

これをどのように考えるかですね。

平均点の最も大きな場合とは、それぞれの階級の最大値で考えるときです。

上から順に、20点、19点、16点、13点、10点、7点

逆に平均点の最も小さな場合とは、それぞれの階級の最小値で考えるときだから、

上から順に、20点、17点、14点、11点、8点、0点

ここで人数をかけて点数を合計して20で割って・・・とやると面倒なので、却下。

表にまとめてみます。

それぞれ、最大と最小の間に差があります。

「最大値の合計と最小値の合計の差」は、【差の合計】と同じです。

差が2の人数は2+5+4+2=13だから

2×13+7×4=54

54÷20=2.7　・・・（答）

⑥★場合の数、確率【目安時間：１分】

（ア）

5枚のカードから3枚のカードを取り出す場合の数は、

$\frac{5×4×3}{3×2}=10$　・・・（答）

（イ）

3つの数の積が偶数になるには、少なくとも1つは偶数であればよい。

積が奇数になる場合、すなわち３つとも奇数であるのは1，3，5の１通り。

よって、偶数になるのは10-1=9（通り）だから$\frac{9}{10}$　・・・（答）

以上、2017年度（平成29年度）岡山朝日高校入試の数学大問１の解説でした。

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