岡山朝日高校 数学 過去問 解法まとめ【2004・2005・2006・2007・2017】

本記事の目的と活用方法

岡山朝日高校の数学入試は、県立トップ校の中でも自校作成問題として知られ、記述力と論理的思考力を強く問われます。
この記事では、2004・2005・2006・2007・2017年度の過去問解法をまとめ、大問ごとに解法の流れ・よくあるミス・採点のコツを整理しました。

※スマートフォンでご覧になると、数式が文字化けしている場合があります。その際は、最下部にて「モバイルバージョンを終了」すると正常に見ることができます。

活用方法

1. まずは実際に問題を解く（問題は朝日高校公式HPからダウンロード）
2. 本記事で解法の流れを確認し、考え方が合っていたかをチェック
3. よくあるミスや解法のコツを見て、自分の答案を改善

目次（年度別ジャンプリンク）

• 2004年度 数学（平成16年度）
• 2005年度 数学（平成17年度）
• 2006年度 数学（平成18年度）
• 2007年度 数学（平成19年度）
• 2017年度 数学（平成29年度）
• 分野別復習リンク

年度サマリーと比較表

各年度の大問数・分野・難易度の一覧表

年度	大問数	主な出題分野	体感難易度
2004（平成16）	4題	関数・図形作図証明・確率	★★
2005（平成17）	4題	文章題・関数・図形証明・確率	★★
2006（平成18）	4題	文章題・関数・図形作図・確率	★★
2007（平成19）	4題	文章題・関数・図形証明・確率	★★
2017（平成29）	5題	文章題・関数・図形作図証明・確率・データ分析	★★☆

2004年度 数学入試 解法まとめ

大問1（分野：小問集）★

①文字式の計算

分数の引き算です。分数の加法・減法では、まず通分をします。
「分数を含む方程式の解法」のように分母の最小公倍数をかけて整数の形にしてしまう人がいますが、「文字式の計算」と「方程式の解法」を混同しないように気を付けましょう。
誤答例：
$\frac{x+2}{2}+\frac{2x-1}{3}$
$=3(x+2)+2(2x-1)$
通分する際は、１つの分数としてまとめると計算ミスが起こりにくいです。
(与式)=$\frac{9(x-2)-2(3x-4)}{6}$
$＝\frac{9x-18-6x+8}{6}$　←特にココ。符号に注意！
$=\frac{3x-10}{6}$・・・（答）

②連立方程式

連立方程式の問題です。解法として「加減法」と「代入法」がありますが、なかには連立方程式を「加減法」のみで解いている人もいます。場合によっては、「代入法」の方が簡単に短時間で解ける問題もありますので、日頃から代入法を使えるようにしておきましょう。
代入法で解けばよいか見分けるには$x$または$y$の係数が１であるかどうかで判断します。係数が１であれば$x=$～、$y=$～の形にでき、もう一方の式に代入できます。今回の問題は、どちらの解法でも対して時間は変わらないと思います。
以下、
$5x+y=7$・・・①
$x-2y=8$・・・②
として解説します。
＜代入法＞
②より$x=2y+8$・・・③
③を①へ代入
$5(2y+8)+y=7$
$y=-3$
これを③へ代入
$x=2$
よって、$x=2,y=-3$・・・（答）

＜加減法＞
①×2+②より
$11x=22$
$x=2$
これを②へ代入
$2-2y=8$
$y=-3$
よって、$x=2,y=-3$・・・（答）

③平方根

平方根の問題です。平方根が自然数になる条件は、$\sqrt{ a^2 }=a$です。つまり、$60n$がある数の２乗になればよいですね。では、ある数って何？？ここで、60を素因数分解します。
$60=2^2×3×5$
2は2乗になっています。3や5も2乗になっていれば、$(2×3×5)^2$の形になり、自然数(2×3×5＝30)になれます。
よって$n=3×5＝15$・・・（答）

④確率

確率の問題です。よく問題を読んで、条件を確認してください。見落としたり勘違いしたりすると、時間がかかり正解までたどりつけないです。
まず、５枚のカードを２回取り出す場合の数を考えます。分母になる数ですね。注意しなければならないのは、１回取り出した後に袋に戻している点です。１回目に取り出す場合の数は１～５の５通り、２回目も１～５の５通りなので、
$5×5=25$（通り）
次に、条件である【三角形ができない】場合を考えます。３点は座標で示されているので、３点の位置関係をイメージしやすくするために座標を描きましょう。(3,0)は固定された点ですが、残り２点はそれぞれ$y=1$、$y=2$上にある点です。【三角形ができない】条件は、３点が一直線上に並ぶときです。それ以外のときは三角形ができます。すなわち、$a=2,b=1$のとき、$a=3,b=3$のとき、$a=4,b=5$のときの３通りです。
よって、$\frac{3}{25}$・・・（答）

⑤$y=ax^2$

AB=4で△AOBの面積が４より、A,Bの$y$座標は２であることがわかります。（このあたりの計算は、暗算でできるとよいです）
よって、A(-2,2),B(2,2)
$y=ax^2$に代入すれば$a=\frac{1}{2}$

⑥平面図形（円と三角形）

平面図形の問題です。こういった問題は、あれこれ考えても答えになかなかたどり着かない人が多いかもしれません。なかなか角度が出せない場合は、求める角を$ｘ$として方程式で解くことを考えてみましょう。解き方は１通りではありません。△ABOと△AODはそれぞれ3辺のうち2辺が半径で等しいことから、二等辺三角形だとわかります。
∠BAO=51°だから∠AOC＝102°
※ポイント　三角形の２つの内角の和は、残り一つの内角の外角と等しいことを利用。
∠DOC＝$ｘ$とすると∠OAD=∠ODA=$2x$
＜解法１＞
∠AOB=$180-102＝3ｘ$
$ｘ＝26$・・・（答）

＜解法２＞
△ABCで三角形の内角の和より
$51+51+2x+x=180$
$ｘ＝26$・・・（答）

目安時間：5.5分

大問2（分野：関数）★★

①直線の方程式

直線の方程式を求める問題です。点B(2,10)、点C(7,0)より求められるのですが、連立方程式を利用して求めるパターンが多く見られます。それよりも傾きを先に求めてから切片を求める方法をおすすめします。
傾きの求め方は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$
変化の割合の求め方と同じです。
$x$の増加量は2⇒7で5
$y$の増加量は10⇒0で-10
よって、$\frac{-10}{5}=-2$
$y=-2x+b$に(7,0)を代入して
※代入する座標は計算が楽な方を選びます。
$b=14$
したがって、$y=-2x+14$　・・・（答）

②直線の方程式の利用

この問題も直線の方程式をまずは求めます。点A(0,-6)、点B(2,10)より傾きは$\frac{10-(-6)}{2-0}=8$
切片は-6
よって、直線ABの方程式は、
$y=8x-6$
直線$y=k$と線分ABの交点Qの$x$座標は
$k=8x-6$
$x=\frac{k+6}{8}$　・・・（１）
したがって、交点Qの$x$座標は　$\frac{k+6}{8}$　・・・（答）

③線分の長さ

①より直線BCの方程式は$y=-2x+14$
よって、直線$y=k$と線分BCの交点Rの$x$座標は$k=-2x+14$
$x=\frac{-k+14}{2}$　・・・（２）
したがって、線分QRの長さは（１）と（２）の差であるので、
$\frac{-k+14}{2}-\frac{k+6}{8}=\frac{-5k+50}{8}$　・・・（答）

④三角形の面積

三角形の面積を求めます。底辺をAP、高さをPQとして考えます。
$AP=k-(-6)=k+6$　（点Aと点Pの$y$座標の差に等しい）
$PQ=\frac{k+6}{8}$　（点Qの$x$座標に等しい）
よって、△PAQの面積は
$\frac{1}{2}×(k+6)×\frac{k+6}{8}$
$=\frac{(k+6)^2}{16}$　・・・（答）

ところでAPの長さの計算で、$AP=k+6$というように絶対値の和で求める習慣がついていませんか？これは良くないです。たとえ答えが合っていても、です。このような計算をする人の多くは次のような間違え方をします。

差は引き算で求めます。こういった当たり前のことを一つずつきちんと理解していくことが大切だと思います。

⑤三角形の面積の関係から$k$の値を求める

△BQRの面積は、底辺をQRとすると
$\frac{(1}{2}×\frac{-5k+50}{8}×(10-k)$
$=\frac{5(10-k)^2}{16}$
※　$-5k+50=5(10-k)$とすることで、式が簡単になる。
△BQR=5△PAQより
$\frac{5(10-k)^2}{16}=5×\frac{(k+6)^2}{16}$
ここから計算を工夫して解きましょう。
両辺に$\frac{5}{16}$がかけてあること、そして$A^2=B^2$の形であることから、
$(10-k)^2-(k+6)^2=0$
$\{(10-k)+(k+6)\}\{(10-k)-(k+6)\}=0$
$16(4-2k)=0$
$2-k=0$
$k=2$　・・・（答）

計算で何をやったのかわかるようにしましたが、多少省いても良いでしょう。この方が展開して整理するよりも楽です。（模範解答では展開しています）
こういった計算の工夫ができる生徒の方を岡山朝日高校は求めていると思います。
ちなみに、$k$の値は何でもOKではなく、問題に「直線$y=k$が線分BCと2点B,C以外で交わっている」と書いてあることから、$0<k<10$です。答えがこの条件を満たしていることを確認するのを忘れないでください。
例えば$k$の値が複数求められ、上記の範囲外の答えまで含んでいた場合、誤答となります。高校ではそういったことも多くありますので、今から理解しておくとよいでしょう。

目安時間：6.5分

大問3（分野：平面図形）★★

①平面図形（円の半径、角度）

平面図形の問題です。

（ア）円Oの半径

△ABCは円Oに内接する三角形で、斜辺ABが円Oの直径にあたるので、直角三角形となります。※　この知識はよく使います。∠BAC=30°より直角三角形の辺の比【1：2：\sqrt{ 3 }】を利用して
$AB=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}AC$
$=\frac{2×3}{\sqrt{ 3 }}=2\sqrt{ 3 }$
ここでちょっとした計算の工夫をしています。
$\frac{6}{\sqrt{ 3 }}$として有理化をするのも方法としてありますが、手間がかかります。あえて【2×3】としているのは、$3=\sqrt{ 3 }×\sqrt{ 3 }$なので、$\frac{3}{\sqrt{ 3 }}=\sqrt{ 3 }$と約分ができるからです。
ABは円Oの直径なので、円Oの半径は半分の$\sqrt{ 3 }$　・・・（答）

（イ）円周角の定理

∠BOCは円Oの弧BCに対する中心角です。同じ弧に対する円周角は∠BAC=30°なので、円周角の定理「１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である。」より、∠BOC=60°　・・・（答）
これより△OBCは正三角形であることがわかります。

（ウ）円周角の定理

（イ）と同様にして、∠BO’Cが求められます。円O’の弧BCに対して∠BO’Cは中心角、∠BOCは円周角の関係になります。よって、円周角の定理より
∠BO’C=120°　・・・（答）

（エ）直角三角形の辺の比の利用

点O’からBCに垂線をひき、その交点をHとします。△O’HCは（ウ）より∠HO’C=60°であることがわかるので、（ア）と同様にして求められます。直角三角形の辺の比【1：2：$\sqrt{ 3 }$】を利用して、
$O’C=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}HC$となります。
$HC=\frac{1}{2}BC$です。
△OBCは正三角形だからBC=OB=$\sqrt{ 3 }$
よって、$HC=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}$
したがって
$O’C=\frac{2}{\sqrt{ 3 }}×\frac{\sqrt{ 3 }}{2}=1$　・・・（答）

計算の過程を書くなら上記の考え方で良いのですが、ここでは答えが求められればOKなので、より早く解くやり方も紹介します。
【1：2：$\sqrt{ 3 }$】の辺の比で、比が【2】にあたる辺から【$\sqrt{ 3 }$】にあたる辺の比を求める場合、あるいはその逆の場合は、計算が面倒に感じる人もいるでしょう。比例式を使ってa:b=c:dのように解く人もいるでしょうが、これはおススメしません。【2】(【$\sqrt{ 3 }$】)の辺の長さから、一旦【1】の辺を求めてから、【$\sqrt{ 3 }$】(【2】)を求めるようにすると、暗算でも求められます。
（エ）の問題を例にしてやってみましょう。
HCはO’Hの$\sqrt{ 3 }$倍です。ということは、O’H=$\frac{1}{2}$となり、O’CはO’Hの2倍なので、１
この考え方は結構便利なのでやってみてください。
※　これはテクニックのように思われますが、大したことではありません。基礎をきちんと理解して、問題を解いていく中で気づくようなことです。

②証明問題

基本的には模範解答を参考にすればよいと思います。
別解としては
三角形の内角と外角の性質「三角形の１つの外角は、それと隣り合わない２つの内角の和に等しい。」より
∠BPC＝∠PQC+∠PCQだから∠PCQ＝60°-30°＝30°
このように求めてもよいでしょう。
証明問題の解答としては時短につながりませんが、角度を求めるだけなら早いです。

③平面図形

（オ）直角三角形の辺の比の利用

△PCQは常に30°、30°、120°の二等辺三角形なので、（エ）の解法と同様に考えます。
点PからCQに垂線をひいて、その交点をRとすると、直角三角形PQRの辺の比は【1：2：$\sqrt{ 3 }$】となるので、
$QR=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}x$
よって、$CQ=\sqrt{ 3 }x$　・・・（答）

（カ）$x$の値

PQの長さが最大のとき、CQの長さも最大です。
CQが最大となるのは円Oの直径となるときです。
$CQ=\sqrt{ 3 }x$で、円Oの直径は$2\sqrt{ 3 }$だから、
$\sqrt{ 3 }x=2\sqrt{ 3 }$
$x=2$　・・・（答）

【別解】
△QCBは斜辺が円Oの直径となる直角三角形であり、△ABCと合同な図形であるから、QB＝3
△BPCも円O’に内接する直角三角形になるからPCは円O’の直径になる。
よってPC＝2、BC=$\sqrt{ 3 }$より（【1：2：$\sqrt{ 3 }$】）
BP＝1
$x=PQ=QB-BP=3-1=2$　・・・（答）

（キ）面積

求める面積をSとします。
円O’の面積は$π$
Sは円O’の扇形OO’Pと△OO’Cの和で求められます。
扇形の中心角は60°
これはPB//OO’より錯角であり、OO’//ACより同位角であり、∠HO’Cの対頂角でもあるので、どれを使っても求められます。
$S=\frac{π}{6}+\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{ 3 }}{2}$
$=\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{ 3 }}{4}$　・・・（答）

このように前の問題の答えを利用するような場合は、初めの方で答えを間違えてしまうと連鎖的に間違えるということになります。一歩間違えれば大問のほとんどが不正解ということになりますので、計算ミスだけはしないようにしましょう。

目安時間：13分

大問4（分野：作図・立体図形）★★★

①円の中心を求める作図

作図の問題です。垂直二等分線や角の二等分線など基本的な作図はできても、それを活用して解くような問題になると途端に解けなくなる人がいます。定義を知っているだけではいけません。それよりも、それぞれの意味をきちんと理解していれば、どのように作図をすればよいのかがわかるようになります。

また、円についても同様に「平面上の1点から等しい距離にある点の集まり」と理解しておきます。

この問題では、「3辺AB,BC,CDに同時に接する円の中心Oの位置」を考えます。
円の接線は、接点を通る半径に垂直です。
つまり、中心Oから3辺AB,BC,CDまでの距離は、すべて等しいです。
角の二等分線は「角の2辺から等しい距離にある点の集まり」であるから、これを利用すれば中心Oが求められるということになります。
よって、∠ABCの二等分線と∠BCDの二等分線の交点が点Oということになります。
ところが、問題の条件に「辺BCの垂直二等分線を引き」とあります。
円Oと辺BCの接点を通り垂直な直線ですから、点Oはこの垂直二等分線上にあると言えます。
ということはもう1本、∠ABCの二等分線あるいは∠BCDの二等分線を引けば円の中心Oが求められます。
作図に用いた線は残しておくのが当然ですが、どこが点Oなのかわかるように「O」も記入することを忘れないように。

②回転体の体積

回転体の体積の問題です。いわゆる「プリン型」ですね。以下のようなイメージです。

大抵は円錐の体積を利用して大きい円錐から小さい円錐を引いて求める解き方でよいです。ちなみに台形ABCDは左右対称で「等脚台形」といいます。点Cから辺ADに垂線を引いて、その交点をHとします。
△CDHで
DH=$\frac{16-6}{2}=5$
三平方の定理から
$CH=\sqrt{ 13^2-5^2 }=12$
※　三平方の定理を使わずとも、直角三角形の辺の比【5：12：13】を知っていればすぐに求められます。【3：4：5】と同様、役に立つでしょう。
辺AD,BCの中点をそれぞれE,Fとして、直線EF,DCの交点をGとします。
△DHCと△DEGは相似であることから、DH:HC=DE:EG
5:12=8:EG
EG=$\frac{96}{5}$
よって、求める回転体の体積は
$\frac{1}{3}×8^2π×\frac{96}{5}-\frac{1}{3}×3^2π×(\frac{96}{5}-12)$
$=388π$　・・・（答）

【別解】
体積比を利用する解き方もあります。体積比は相似比の3乗です。大小の円錐の体積比はそれぞれ$8^3$,$3^3$であるから、プリンの体積比は
$8^3-3^3=485$
よって、
$\frac{1}{3}×8^2π×\frac{96}{5}×\frac{485}{8^3}$
$=388π$　・・・（答）

③球の半径

半径$r$が最大となるときはボールの上端が容器の上面と接するときです。立体図形は平面で考えると解きやすいです。（切断、展開図など）

模範解答のように三角形の相似を用いて解くのがスマートだと思います。

【別解】
△AGDの面積は
△AGD=$\frac{1}{2}×16×\frac{96}{5}$　・・・（あ）
また半径$r$を用いて△AGDの面積を考えると
△AGD=△AO’D+△AO’G+△GO’D
=$\frac{1}{2}(16+GD+GA)×r$　・・・（い）
GD、GAは相似を用いて$\frac{104}{5}$になるから（あ）=（い）より
$r=\frac{16}{3}$　・・・（答）

目安時間：13分

2005年度 数学入試 解法まとめ

大問1（分野：小問集）★★

①文字式の計算

前年度と同様、よくある分数の引き算です。分数ですから、まず通分をするのですが、以下のように間違えて方程式を解くように分母の最小公倍数をかけてしまわないようにしましょう。
＜【文字式の計算】と【方程式の解法】を混同してしまった間違いの例＞
$\frac{3x-4}{2}-\frac{x+2}{3}$
$=3(3x-4)-2(x+2)$
通分する際は、【１つの分数としてまとめる】でしたね。分配法則によりカッコを外す際には、符号に注意すること。
以下の計算では、$4y$の前の符号（＋）になります。
(与式)=$\frac{3(x-y)-2(x-2y)}{6}$
$＝\frac{3x-3y-2x+4y}{6}$
$=\frac{x+y}{6}$・・・（答）

②平方根の計算

平方根の計算問題ですが、【式の展開】も利用します。あとは素早く$a\sqrt{ b }$の形にできるようになっておくとよいでしょう。
(与式)=$(3\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 3 }-\sqrt{ 2 })(2\sqrt{ 2 }+3\sqrt{ 3 }-4\sqrt{ 3 })$
=$(2\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 3 })(2\sqrt{ 2 }-\sqrt{ 3 })$←$(a+b)(a-b)$の形になっている
=$8-3=5$
$(a+b)(a-b)$の展開、因数分解の公式はよく活用するので、重要です。

③２次方程式

２次方程式の問題です。少しでも時間短縮につながるように、計算の工夫があると良いでしょう。まずカッコを外します。
$x^2-12x+35-2x^2-62=0$・・・①
これを整理すると、
$-x^2-12x-27=0$・・・②
となると思いますが、マイナスが邪魔なので、$x^2+12x+27=0$に直しますよね。この手間を省くために少し頭を使いましょう。①の式を整理する際に$x^2$の前にマイナス(-)がつくと気づいたら、②の式を書かずに、逆の符号に変えた式を書きましょう。あるいは、右辺に移項したと考えても良いでしょう。
$0=x^2+12x+27$
慣れればややこしくないです。あとは２次方程式の解法通り、因数分解を考えます。
$x^2+12x+27=0$
$(x+3)(x+9)=0$
$x=-3,-9$・・・（答）

④確率

確率の問題です。パターンで解き方を覚えている人は要注意です。
$a,b$の目の出方の組み合わせは全部で$6×6=36$（通り）
$b=2a$となる組み合わせは、$a=1,2,3$を代入していけばOK。
$b$が6になった時点でストップ！
$(a,b)=(1,2),(2,4),(3,6)$
の３通りです。
よって、求める確率は
$\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$・・・（答）

次に、$b$が$a$の倍数になる確率について考えます。
1～6までの数で、
1の倍数は、1～6の6個
2の倍数は、2,4,6の3個
3の倍数は3,6の2個
4～6の倍数はそれぞれ1個しかありません。（合計3個）
以上の合計は14個
よって、$\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$・・・（答）

⑤平面図形

平面図形の問題です。図形問題は、複数の基礎知識を活用して解くことが多いので、知らないものが一つでもあれば解けないでしょう。図形問題を解く際には、必ず与えられた条件を図に書き込んでから考えましょう。まず、AMの長さから。これはあっという間にできてしまうかもしれません。AB=ACより△ABCは二等辺三角形です。MはBCの中点です。このことから気づきましたか？

二等辺三角形の性質に「二等辺三角形の頂角の二等分線は、 底辺を垂直に２等分する。」というのがありましたね。ということは、AMはBCの垂直二等分線ということになります。基礎知識を活用できるかどうか、ここで問われているわけです。まだまだあります。AM⊥BCより△ABMは直角三角形であるとわかりました。
$AB=\sqrt{ 2 }$
$BM=\frac{1}{2}BC=1$
だから、直角三角形の辺の比【1:1:$\sqrt{ 2 }$】が当てはまることになります。
よって、AM=1　・・・（答）

次が少し難しいと思います。角度でまずわかるのは、先ほどの直角三角形の辺の比が当てはまったことから、△ABM,△ACM,△ABCは直角二等辺三角形なので、
∠ABM=∠ACM=45°
台形よりAD//BCだから、平行線の錯角は等しいことより
∠DAE＝∠ACM=45°
ここまではわかると思います。
DからBCに垂線を引いた交点をHとすると△DBHにおいて、DH=1,BD=2がわかるので、直角三角形の辺の比【1:2:$\sqrt{ 3 }$】を利用して、∠DBH=30°がわかります。(＊)
これに気付ける人が少ないので、★３つにしました。
平行線の錯角より∠ADE＝30°
よって、∠AED＝180°-(45°+30°)=105°　・・・（答）

＜別解＞(＊)の後から
△ABEにおいて
∠ABE=∠ABM-∠DBH=45°-30°=15°
∠BAC=45°より
∠AED＝90°+15°=105°　・・・（答）

これは、「三角形の2つの内角の和は残りの内角の外角に等しい」ことを利用しています。

目安時間：6.5分

大問2（分野：方程式・平面図形）★★

①方程式の利用

方程式の利用（文章題）の問題です。
＜連立方程式を利用した解法＞
一般的にはこちらの解き方になります。
昨年度の男子の参加者数を$x$人、女子の参加者数を$y$人とすると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y – x = 130 \\ \frac{5}{100}x + 22 = \frac{4}{100}(x+y) \end{array} \right. \end{eqnarray}
$\frac{105}{100}x + y+22 = \frac{104}{100}(x+y)$　・・・①とする人もいるかもしれませんが、どちらの方が計算が楽かは明らかだと思います。①の式で解こうとする人は、これまでも同じような式で解いていますよね。それよりも【増減】に関して立式した方が計算が楽なのでおススメです。連立方程式を解く過程は省略しますが、加減法でも代入法でも良いと思います。気を付けないといけないのは、求めるのが「今年度の男子の参加者数」だということ。$x$の値を求めてそのまま答えとしないようにしましょう。

②平面図形

（ア）相似の利用

△ABCと△MBAで∠Bが共通で、∠BAM=∠Cより２角がそれぞれ等しいので、△ABC∽△MBAということがわかります。よって、対応する辺の比は等しいことからABが求められます。
$AB=x$とすると、
$x$：2＝4：$x$
$x^2=8$
$x>0$より
$x=2\sqrt{ 2 }$　・・・（答）

（２）直角三角形の辺の比の利用

∠B=60°から直角三角形の辺の比が使えるとピンとくればOK。点Aから辺BCに垂線を引いた交点をHとすると、△ABHは【1：2：$\sqrt{ 3 }$】の直角三角形です。AHを求めれば、△ABCの面積が求められます。
AH=$2\sqrt{ 2 }×\frac{\sqrt{ 3 }}{2}$
=$\sqrt{ 6 }$
よって、△ABCの面積は
$\frac{1}{2}×4×\sqrt{ 6 }=2\sqrt{ 6 }$　・・・（答）

目安時間：8分

大問3（分野：平面図形）★★

①　円周角の定理の利用

問題にある「点Aを含まない弧BCの長さは、円Oの円周の長さの2/3である」がヒント。∠BACは、点Aを含まない弧BCに対する円周角であるので、
$180×\frac{2}{3}＝120$

②　証明問題

模範解答を参照。
四角形ABDCにおいて円に内接する四角形の対角の和は180°であることを利用して、
∠BDC＝180°－∠BAC＝180°－120°＝60°
でもOK。

③　円の面積、直角三角形の辺の比

△OBDにおいて、点Oから線分BDに垂線を引いたとき、垂線と線分BDの交点をEとすると、
DE＝$\frac{7}{2}$、∠ODE＝30°より
OD＝$\frac{7\sqrt{ 3 }}{3}$
よって、円Oの面積は、
$π(\frac{7\sqrt{ 3 }}{3})^2＝\frac{49π}{3}$

④　空間図形

体積が最大となるとき、A,O,Dは一直線上になる。
BCとADの交点をFとする。
△BCDの面積は、
$7×\frac{7\sqrt{ 3 }}{2}×\frac{1}{2}＝\frac{49\sqrt{ 3 }}{4}$
高さは
AF＝$\frac{14\sqrt{ 3 }}{3}－\frac{7\sqrt{ 3 }}{2}＝\frac{7\sqrt{ 3 }}{6}$
よって
$\frac{49\sqrt{ 3 }}{4}×\frac{7\sqrt{ 3 }}{6}×\frac{1}{3}＝\frac{343}{24}$

目安時間：10分

大問4（分野：関数・動点）★★

①　一次関数の直線の式

A,Bの座標から、まずは傾きを求め、切片をｂとおいて点Aの座標を代入するとよいでしょう。

②　動点の問題

OCの長さは、三平方の定理を利用して10㎝となるから、OからCを通ってBまでの長さは15㎝となる。
よって、点Qの速さは毎秒1㎝となり、点Qが点Cと一致するのは、出発してから10秒後だとわかる。

③　点と直線の距離

模範解答参照。この面積を利用した解法を使う問題は、頻繁に出題されているため、ぜひ使えるようにしてほしい。

④　動点の問題

動点の問題での記述問題は、高校数学でもよくある「場合分け」を使う。
ここでは、3つに場合分けして、ⅰ)$0＜t＜\frac{5}{2}$のように表す。
ⅰ）やⅱ）やⅲ）というのは、1，2，3のことですね。

⑤　動点の問題

④や⑤の記述問題のように、高校数学でも出てくるような解答がよくあります。
「条件に適する」「条件に適さない」といった文言は、忘れずに入れること！

目安時間：15分

2006年度 数学入試 解法まとめ

大問1（分野：小問集）★★

①平方根の計算

定番の平方根の計算です。計算を少しでも速く解くために、いくつか計算の工夫ができるとよいでしょう。
例えば、$\sqrt{ 75 }$を簡単な形にするために素因数分解をやっていると時間がかかります。$5^2$=25の倍数がすぐに出てくるようになると便利です。
25,50,75,100,・・・
75は25×3ですから$5\sqrt{ 3 }$とすぐにできるようになります。
そして、$(\sqrt{ 6 }-\sqrt{ 24 })$の部分についても一工夫。
$\sqrt{ 6 }=\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 3 }$と分けて考えられるようになると今回の計算や約分の際に活用できます。
例えば、$\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 6 }=\sqrt{ 12 }=2\sqrt{ 3 }$といった計算を$\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 2 }\sqrt{ 3 }=2\sqrt{ 3 }$と考えるのです。
このような考えを使うと、今回の計算問題は、
(与式)=$2×5\sqrt{ 3 }-\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 2 }(\sqrt{ 3 }-2\sqrt{ 3 })$
=$10\sqrt{ 3 }-2\sqrt{ 3 }+4\sqrt{ 3 }$
=$12\sqrt{ 3 }$・・・（答）

というふうに解けます。この通りでなくても良いのですが、12や24といった2桁以上の数の計算に手間取ることなく計算をする工夫はこれからも求められます。日頃から意識して計算を行いましょう。

②2次方程式の計算

2次方程式の計算問題です。この問題も工夫できましたか？展開して整理すると時間がかかります。入試は制限時間があります。答えが合っていても時間をかけていては最後まで解くことができません。いくら時間があっても難しくて解けないのは仕方ありませんが、時間が足りないがために、本当は解ける問題ができなかったということのないようにしたいですね。
問題を見た瞬間、共通因数に気付いたと思います。
$x+3$ですね。
$x+3=A$とおいて考えるとわかりやすいと思います。
$A^2=2A$
$A^2-2A=0$
$A(A-2)=0$
$(x+3)(x+3-2)=0$
$(x+3)(x+1)=0$
$x=-3,-1$

計算に慣れてくれば、上記のように【文字の置き換え】などをしなくても頭の中でできるところは省いてもOKです。式一つ書くのにも時間がかかりますからね。

③１次関数と$y=ax^2$

関数の融合問題です。このようにグラフが示されていない問題も簡単なグラフを書いてイメージ化しましょう。
$y=x^2$を描き、切片が$\frac{8}{3}$である1次関数のグラフを描きます。
傾きはわかりませんが、負であることを見落としてはいけません。
右下がりの直線のグラフになりますね。ここからわからなくなった人もいるでしょう。
$x$の変域が-1≦$x$≦2ですから、$y=x^2$における$y$の変域が0≦$y$≦4であることがわかります。※この変域を間違える人も少なくないでしょう。

$y$の変域が等しいということは、$y=ax+\frac{8}{3}$のグラフでも-1≦$x$≦2のとき、0≦$y$≦4とならなければいけません。
$y=ax+\frac{8}{3}$で$y=0$となるのは、$x$軸との交点です。
$y=ax+\frac{8}{3}$のグラフは右下がりのグラフなので、$x$の値が-1から2に増加している間、$y$の値は減少していきます。つまり、$x=-1$の時$y$は最大となるので4、$x=2$の時$y$は最小となるので0ということがわかります。
よって、$y=ax+\frac{8}{3}$に(2,0)を代入して、※(-1,4)を代入してもよいが、計算が楽な方を選びましょう。

$a=-\frac{4}{3}$・・・（答）

④立体図形

円錐（すい）の体積の問題です。
求め方は、底面積×高さ×$\frac{1}{3}$ですね。底面は円ですから、その円の半径と円錐の高さが分かれば求められます。中心角が216°ですから、$\frac{216}{360}=\frac{3}{5}$となります。よって底面の円の半径は3ということになります。（※後で説明）

側面の扇形の半径5は円錐の母線になるので、

上の図のようになり、直角三角形の辺の比【3:4:5】から高さは4cmだとわかります。

よって円錐の体積は、
$3^2π×4×\frac{1}{3}=12π$・・・（答）

直角三角形の辺の比、そして底面の円の半径の求め方を知っておくと、かなり早く解けることがわかると思います。
底面の円の半径の求め方については、以下を読んでください。

⑤確率

確率の問題です。
場合の数を求める際に、樹形図などを使って、全て書き出すのは時間のロスになります。計算で解けるようになれば随分早く解けるようになります。
まず、５枚のうち２枚をひいて並べる並べ方は、
5×4=20（通り）
そのうち4の倍数であるものは、12,24,32,52　の4通り。
よって、$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$・・・（答）

⑥平面図形

平面図形の問題です。
このくらいのレベルの問題が、差になってくるのではないかと思います。ある人にとっては４分もかからないでしょうし、ある人にとっては地獄のように難しくて時間をかけても解けないかもしれません。目安時間はあまり気にしないでください。４分以内で解ければいいかな～くらいで。解説を見て、あ～そっか！と思うでしょう。でも、それに自分で気づけるようにならないといけません。そのためには条件を一つずつ確認し、分かったことから他にわかることがないのか、見落としがないかを「よく考えること」です。考える力などといいますが、普段からよく考える習慣をつけていないといざという時に考えることはできません。
【考える習慣】を身につけて応用問題に果敢にチャレンジしていくこと！

さて、問題の解説です。与えられた条件からわかるところをドンドン見つけていきましょう。
中心Oと接線を結ぶ半径は、接線と直交（垂直に交わること）します。
よって、∠OAC=∠OBC=90°
DE//AOより∠EDC=90°
△EDCで∠DEC=60°
DEと円Oの接点をFとすると、∠OFE=90°
ここまでで、四角形AOFDは正方形であることがわかります。
よって、DF=3
直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので（共通辺、半径）
△OBE≡△OFE
したがって、∠OEF=$\frac{180°-60°}{2}$=60°　←ここに気付けるかどうかがポイント
△OFEで直角三角形の辺の比【1：1：$\sqrt{ 3 }$】を利用して、
EF=$\frac{OF}{\sqrt{ 3 }}=\frac{3}{\sqrt{ 3 }}=\sqrt{ 3 }$
ゆえに　DE=DF+EF=$3+\sqrt{ 3 }$・・・（答）

これが解けないと次の面積も求められません。
五角形AOBED=正方形AOFD+△OFE×2
=$3^2+(\frac{1}{2}×\sqrt{ 3 }×3)×2$
=$9+3\sqrt{ 3 }$　・・・（答）

図形問題を解く際には、

• 与えられた条件を図に書き込む！
• 条件から基礎知識を駆使して【よく考えて】突破口を見つける！

目安時間：6.5分

大問2（分野：方程式・関数）★☆

（問1）連立方程式の応用

模範解答を参考にしてください。よく見るような問題ですね。こういった問題こそケアレスミスには気をつけましょう。

（問2）一次関数の応用

①　（0，0）、（2，1）、（4，2）の3個。

②　$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことを格子点といいますが、条件Pを満たす点は、0≦$x$≦4，0≦$y$≦3（直線（1）と直線（3）の交点より）ということがわかるので、$x$＝1，2，3の時に、それぞれ条件Ｐを満たしているかを考えます。式だけで考えるのではなく、グラフを描いて考えることがポイントです。
まず、$x＝1$のとき、直線（1）上の点は$y＝3$、直線（2）上の点は$y＝\frac{1}{2}$より、$y＝1，2，3$は条件Ｐを満たすということがわかります。
同様に、$x＝2,3$の時も考えてみてください。この場合は、直線（2）と直線（3）の間で考えます。
$x＝2$のときは、$y＝1，2，3$、$x＝3$のときは、$y＝2$が条件を満たします。
$x＝0，4$のときは、それぞれ1個なので、合計9個ということになります。

③　ここまで、グラフを描いて位置関係をしっかりと把握していた人にとっては解きやすい問題です。直線（3）の傾きを変化させることによって、格子点の個数は変わりますが、$a＝-\frac{1}{2}$よりも傾きを小さくする（負の値なので$a$を小さくするほど「急な坂」になる）ことで、格子点の個数は増えていくことがわかります。$a=-1$にすると、ちょうど（3，3）、（2，4）を通り、格子点が2個増えますね。
更に傾きを小さくすると、$a=-\frac{3}{2}$のときに（2，5）を通り、1個増えてしまうので、これを含まないギリギリの範囲までということで、$-\frac{3}{2}＜a≦-1$になります。

目安時間：11分

大問3（分野：図形）★☆

①　作図

基本の作図ですね。説明は不要でしょう。

②　相似の証明

証明は模範解答の通りです。2角が等しいことはすぐにわかると思います。

③　三平方の定理・立体の体積

（ア）∠BAE＝30°より∠ABE＝60°だから、∠PBC＝30°
よって△PBCは辺の比が$1：2：\sqrt{ 3 }$の直角三角形だとわかるので、BC=2よりPC=$\frac{2\sqrt{ 3 }}{3}$
②の相似より△PFCの辺の比も$1：2：\sqrt{ 3 }$だから、PF=$\frac{\sqrt{ 3 }}{3}$

（イ）点Fから線分PCに引いた垂線と線分PCとの交点をHとすると、△PFHと△FCHも辺の比が$1：2：\sqrt{ 3 }$の直角三角形となる。
このことから、FH＝$\frac{1}{2}$、PC＝$\frac{2\sqrt{ 3 }}{3}$が求められるので、立体の体積は、
$π(\frac{1}{2})^2×\frac{2\sqrt{ 3 }}{3}×\frac{1}{3}$＝$\frac{\sqrt{ 3 }}{18}π$

目安時間：8分

大問4（分野：関数）★☆

①　二次関数の基本

点Bの座標を$y=ax^2$に代入して求める。このレベルの基本問題も出るので、さっさと解いて、難しそうな問題に時間をできるだけ回しましょう。

②　二次関数の基本

点Aのｙ座標は4であるから、$y=\frac{1}{4}x^2$に代入してｘ座標を求める。これもすぐ解ける。

③　一次関数の基本

点B（-2，1）を通り、傾きが2の直線の式であるから、これも時間がかからないでしょう。

④　関数の応用

模範解答の通りでOK。答えを求める過程を書くのに少し時間がかかる程度。答えを出すだけなら底辺の長さの比ですぐに出せる。

⑤　関数の応用

模範解答の通りでOK。

目安時間：11.5分

2007年度 数学入試 解法まとめ

大問1（分野：小問集）★

①平方根の計算

定番の平方根の計算です。
計算を少しでも速く解くために、いくつか計算の工夫ができるとよいでしょう。今回は因数分解の公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$を利用します。
$a=\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 12 }=\sqrt{ 2 }+2\sqrt{ 3 }$
$b=\sqrt{ 2 }-\frac{6}{\sqrt{ 3 }}=\sqrt{ 2 }-2\sqrt{ 3 }$
とすると、
$a+b=2\sqrt{ 2 }$
$a-b=4\sqrt{ 3 }$
よって、
(与式)=$2\sqrt{ 2 }×4\sqrt{ 3 }=8\sqrt{ 6 }$　・・・（答）

というふうに解けます。この通りでなくても良いのですが、短時間で手間取ることなく計算をするために工夫はこれからも求められます。日頃から意識して計算を行いましょう。

②一次関数

（ア）$-x+3＝2x-3$の代入法で解く。

（イ）（ア）で求めた交点の座標を代入して求める。

③確率

難しいわけではないけれど、条件に当てはまる場合を探すのに少し面倒な問題。

（ア）$b=\frac{6-a}{2}$とすると、求めやすくなる。条件に当てはまるのは、$a=2,4$の2通り。よって、$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

（イ）$a+2b=12$のとき、$b=\frac{12-a}{2}$とすると、条件に当てはまるのは、$a=2,4,6$の3通り。$a+2b=18$のとき、$b=\frac{18-a}{2}$とすると、条件に当てはまるのは、$a=6$の1通り。よって、2＋3＋1＝6（通り）が6の倍数となる場合の数になる。確率は、$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

④正多角形の内角

1つの外角は$\frac{360°}{20}=18°$
よって、$180°-18°＝162°$

⑤平面図形

（ア）△ABCにおいて、三平方の定理を使って求める。5：12：13の辺の比を覚えていればすぐわかる。

（イ）点Pを通り、辺ABに平行な線をひくと、等積変形より、求める面積の和は△ABCの面積と同じであることがわかる。

目安時間：5.5分

大問2（分野：文字式の利用・空間図形）★★

問１　文字式の利用

模範解答の通り。
$n$はすべての数を満たすわけではないので、必ず条件を記載（$n$は9≦$n$≦23の自然数かつ13，14，20，21を除く）する必要がある。

問２　空間図形

①　点Oから底面ABCDにおろした垂線とABCDの交点をHとする。
AC=$6\sqrt{ 2 }$、AH=$3\sqrt{ 2 }$
△OAHにおいて、OH=$3\sqrt{ 2 }$
これは、△OAHが1：1：$\sqrt{ 2 }$の直角三角形だと気づくと簡単に解ける。（気づけなくても問題なし）
よって、体積は、
$6^2×3\sqrt{ 2 }×\frac{1}{3}＝36\sqrt{ 2 }$

②（ア）　「最短距離といえば展開図」ですね。展開図で考えると、OABCはひし形になります。
OC//ABより△OFE∽△BFAだから、OE:BA＝OF:BF＝1：3
よって、OF=$6×\frac{1}{4}＝\frac{3}{2}$

（イ）これも展開図で考える。OE＝1、OA=6、∠AOE＝120°から、直角三角形を利用して考える。
点Aから直線OCにひいた垂線とOCの交点をGとすると、△AOGは∠AOG＝60°の直角三角形となる。
よって、OG=3，AG＝$3\sqrt{ 3 }$
したがって、△AEGにおいて、三平方の定理よりL＝AE＝$2\sqrt{ 13 }$

目安時間：5分

大問3（分野：平面図形）★★

①　三角形の相似の証明

証明は、模範解答通り。
教科書にあるようなド定番の問題しか証明できないと、こういった問題に苦労するでしょう。だからといって、難問問題集でパターンとして覚えようとしてもおそらくないのがこういった問題。難しいわけではないのですが、思考力が必要になります。パッと見て、「2角がそれぞれ等しい」という相似条件を使うだろうという予想は出てくるでしょう。直角三角形の場合は、直角以外の残り2角のどちらかが等しいことが証明できればよいのだから、そこに絞って考えるとよいでしょう。△ABDと△ACEで、∠BACが共通角であることから相似である、ということを利用してもよいのですが、時間がかかるので、やはり模範解答がもっともシンプルでよいと思います。

②　平面図形

（ア）　△ABDにおいて、直角三角形の辺の比$1：2：\sqrt{ 3 }$を利用

（イ）　△ACEにおいて、直角三角形の辺の比$1：2：\sqrt{ 3 }$を利用

③　円、平面図形

∠AEF＝∠ADF＝90°より、AFが円Oの直径になります。
DF＝$\frac{1}{\sqrt{ 3 }}$より、AF=$\frac{2\sqrt{ 7 }}{\sqrt{ 3 }}$
あえて有理化していないのは、計算を楽にするためです。これは時間短縮につながります。
よって、半径は$\frac{\sqrt{ 7 }}{\sqrt{ 3 }}$となり、円の面積が求められます。

③　平面図形

（ア）　△ABC∽△ADE（2辺の比とその間の角がそれぞれ等しい）より、DE：BC＝1：2
BE＝4、CE＝$2\sqrt{ 3 }$より、三平方の定理をつかって、BC＝$2\sqrt{ 7 }$

（イ）　CF＝$\frac{2}{\sqrt{ 3 }}$より、底辺EF＝$\frac{4\sqrt{ 3 }}{\sqrt{ 3 }}$
DからCEにおろした垂線とCEとの交点をGとすると、DG＝$\frac{1}{2}$
これが△DEFの高さとなります。解法も大切ですが、計算のスピードと正確さも重要となります。

目安時間：12分

大問4（分野：関数と図形）★★

①　二次関数

模範解答参照。
点Aのｙ座標に8を加えたものが点Ｂのｙ座標です。

②　関数と図形の融合問題

模範解答参照。
正方形の対角線の長さは等しく、それぞれの中点で垂直に交わります。よって、点Ｃ，ＤはABの中点のｙ座標と等しくなりますね。

③　関数と図形の融合問題

模範解答参照。
直角三角形の辺の比を利用します。

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2017年度 数学入試 解法まとめ

大問1（分野：小問集）★☆

①文字式の利用

２次式の利用の問題です。一般的には文字式を簡単な式に整理してから代入します。
$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$
$x=2+\sqrt{ 3 }$を代入して
$(\sqrt{ 3 }+3)(\sqrt{ 3 }-1)$
$=\sqrt{ 3 }(\sqrt{ 3 }+1)(\sqrt{ 3 }-1)$　＊
$=2\sqrt{ 3 }$　・・・（答）

＊のところで$\sqrt{ 3 }$を因数とする発想があるとよいですね。

②球の表面積、指数

球の表面積は$S=4πr^2$
気を付けないといけないのは、単位です。
6400㎞に対して、表面積は㎡です。
$4π(6400000)^2=2^2π(8^2×10^5)^2$
$=2^2×(2^6×2^5×5^5)^2π$
$=2^2×(2^{11}×5^5)^2π$
$=2^{24}×5^{10}π$
よって$m+n=34$　・・・（答）

➂1次関数

$x$の変域が$0≦x≦b$のとき
$y=-2x+5$の最大値（最も大きい$y$の値）は5（$x=0$のとき）
最小値は（最も小さい$y$の値）は$x=b$のときです。
$y=ax-1$のグラフは切片が-1であることから、$y$の変域が一致するとき
$a>0$で最大値は5（$x=b$のとき）、最小値は-1（$x=0$のとき）だとわかります。
（色んなパターンを考えてみると、上記以外は条件に当てはまらないことがわかります。）
よって$y=-2x+5$に$(b,-1)$を代入して
$-1=-2b+5$
$b=3$　・・・（答）

$y=ax-1$に$(3,5)$を代入して
$5=3a-1$
$a=2$　・・・（答）

④反比例、変化の割合

「$x$の値が-4から-2まで増加するときの変化の割合が-2」
このことから、グラフは第３象限（座標平面において、$x$も$y$も共に負の値を取る領域）であることがわかります。
「$x$の値が-4から-2まで」・・・第２象限または第３象限
「変化の割合が-2」・・・$x$の値が-4と-2のときのグラフ上の点を結ぶと傾きが負（右下がり）
$x$の増加量は2だから、$y$の増加量は-4
$y=\frac{a}{x}$に-2，-4を代入すると$y$の増加量は$-\frac{a}{4}$
よって$a=16$　・・・（答）

⑤平均

平均の問題です。この問題は、解き方によって随分時間が違うと思います。面倒で時間がかかるやり方は推奨しません。以下の考えで解くと大幅に時間短縮できると思います。
ポイントは「平均点の最も大きな場合の値と最も小さな場合の値の差」
これをどのように考えるかですね。
平均点の最も大きな場合とは、それぞれの階級の最大値で考えるときです。
上から順に、20点、19点、16点、13点、10点、7点
逆に平均点の最も小さな場合とは、それぞれの階級の最小値で考えるときだから、
上から順に、20点、17点、14点、11点、8点、0点
ここで人数をかけて点数を合計して20で割って・・・とやると面倒なので、却下。
表にまとめてみます。

最大	20	19	16	13	10	7
最小	20	17	14	11	8	0
差	0	2	2	2	2	7
人数	3	2	5	4	2	4

それぞれ、最大と最小の間に差があります。
「最大値の合計と最小値の合計の差」は、【差の合計】と同じです。
差が2の人数は2+5+4+2=13だから
2×13+7×4=54
54÷20=2.7　・・・（答）

⑥場合の数、確率

（ア）

5枚のカードから3枚のカードを取り出す場合の数は、
$\frac{5×4×3}{3×2}=10$　・・・（答）

（イ）

3つの数の積が偶数になるには、少なくとも1つは偶数であればよい。
積が奇数になる場合、すなわち３つとも奇数であるのは1，3，5の１通り。
よって、偶数になるのは10-1=9（通り）だから$\frac{9}{10}$　・・・（答）

目安時間：10分

大問2（分野：方程式の利用）★★

連立方程式でもよいですし、１次方程式でも解けます。
以下は１次方程式を利用した解法です。
入部した１年生の男子の部員数を$x$人とすると、女子の部員数は$(47-x)$人
2年生と3年生を合わせた男子の部員数は
$57×\frac{1}{3}=19$
女子の部員数は
$57-19=38$
部全体では、女子の部員数が男子の部員数より40人多いので
$38+(47-x)=19+x+40$
$x=13$
$y=47-13=34$
よって、１年生の男子の部員数は13人、女子の部員数は34人　・・・（答）

目安時間：3分

大問3（分野：作図）★★

【実際の作図は模範解答を参考にしてください。】
合同条件の１つに「２組の辺と【その間の】角がそれぞれ等しい」というのがあります。ここでは、【その間の】角が等しくなければ合同にはならないことを作図によって証明するということです。「こんな問題解いたことない！」という声がまた聞こえてきそうです（笑）岡山朝日の問題で、見たことがないのは当たり前だと思ってください。
さて、△ABCと△ABDを比較すると、ABは共通する辺です。
答えは２通りあります。①　AC=ADの場合　と　②　BC=BDの場合　です。
①　AC=ADの場合
点Aを中心に半径がACである弧をコンパスで作図します。この弧上のどこかに点Dがあるはずです。
本来なら△ABCと△ABDが合同になるためには２組の辺の間の角
∠CAB=∠DAB（共通）
でなければなりませんが、ここでは合同にならない場合を考える必要があるので、
∠CBA=∠DBA（共通）
を考えます。
つまり、点Dは半直線BC上にあると考えられるので、BCを延長して、先ほどの弧との交点（点C以外）が点Dとなります。どこが点Dであるかわかるように「D」を書き込むのを忘れないようにしましょう。
②　BC=BDの場合
①と同様です。点Bを中心に半径がBCである弧をコンパスで作図します。
１つの等しい角は∠CAB=∠DAB（共通）を考えます。
つまり、点Dは半直線AC上にあると考えられるので、ACを延長して、先ほどの弧との交点（点C以外）が点Dとなります。

目安時間：3分

大問4（分野：平面図形）★★

①円周角の定理

円周角の定理
【１】１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である。
【２】同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

（ア）円周角の定理①より
∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BDC=45°　・・・（答）

（イ）円周角の定理①より∠ADC=2∠ABC=60°
AD=CDより△ADCは正三角形
よってAC=$\sqrt{ 2 }$　・・・（答）

②相似の証明

三角形の相似条件
【１】3組の辺の比がすべて等しい。
【２】2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
【３】2組の角がそれぞれ等しい。

三角形の相似条件では【３】が最も多く使われています。
△ABCと△EACにおいて
∠ACB=∠ECA（共通）であることはすぐにわかります。あとはもう一つ角が等しいことが言えればOK。
∠EAC=∠BAC-∠BAE=45°-15°=30°
よって、∠ABC=∠EAC
これで相似条件【３】が使えますね。

➂面積など

計算等にやや時間がかかる問題です。（特に（イ））

（ア）

∠ABD=∠CBD-∠ABC=45°-30°=15°
∠ABD=∠BAEで錯角の関係よりDB//AEということがわかります。
したがって、AE⊥DC
AEとDCの交点をHとすると、△AHCは直角三角形で、直角三角形の辺の比は【１：２：$\sqrt{ 3 }$】になります。
よって、CH=$\frac{\sqrt{ 2 }}{2}$
$\frac{\sqrt{ 2 }}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$とした方が計算はしやすいでしょう。
△CEHは直角二等辺三角形であるから、
CE=$\frac{1}{\sqrt{ 2 }}×\sqrt{ 2 }$=1　・・・（答）

（イ）

△ABE=$\frac{1}{2}$×AE×DH
で求められます。
DH=$\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$
AE=AH+HE=$\frac{\sqrt{ 6 }}{2}+\frac{\sqrt{ 2 }}{2}$=$\frac{\sqrt{ 6 }+\sqrt{ 2 }}{2}$
よって、△ABEの面積は、
$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{ 6 }+\sqrt{ 2 }}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{ 2 }}$
=$\frac{\sqrt{ 3 }+1}{4}$　・・・（答）
計算の工夫がないと時間がかかると思います。平方根でも約分ができるようにしておきましょう。

（ウ）

どうやって求めたらよいかわからない人もいるかもしれません。回転してできる図形がイメージできたかどうかがポイントです。回転すると円になるのはわかっていると思います。辺AEを点Cを中心に回転させると、半径がCHの円ができます。半径がBCの円の面積から半径がCHの円の面積を引けば求められます。
点EはBCの中点であるから（中点連結定理、あるいはAEがDCの垂直二等分線より）
BC=2
よって、
$2^2π-(\frac{1}{\sqrt{ 2 }})^2π=\frac{7}{2}π$　・・・（答）

目安時間：13分

大問5（分野：関数・動点）★★☆

動点に関する問題です。ある程度パターン化しているので、理解できている（動点の問題が解ける）人にとっては難しくなかったでしょう。②➂で場合分けがきちんとできるかどうかが大切です。

①速さ、面積

（ア）

点Qが原点Oから点Cに到達するまでの長さを求めます。
OAは直角三角形の斜辺と考えて、直角三角形の辺の比【３：４：５】を利用します。
OA=5
BC=OAより点Qが原点Oから点Cに到達するまでの長さは
5+1+5=11
よって、
11÷$\frac{11}{2}$=2　・・・（答）

（イ）

$t=1$のとき、△OPQの底辺OPは3、高さは比を使って$2×\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$
よって
$\frac{1}{2}×3×\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$　・・・（答）

②面積

$t$の範囲によって、面積の求め方が変わります。
・点Pが出発してから3秒後まではOP=3tとなり、3秒を超えるとOP=3となります。
・点Qは出発してから$\frac{5}{2}$秒後に点Aに到達し、3秒後に点B、$\frac{11}{2}$秒後に点Cに到達します。
これより、点P,Qが原点Oを出発してから
（１）点Qが点Aに到達するまで
（２）点Pが点Cに、点Qが点Bに到達するまで
（３）点Qが点Cに到達するまで（点Pは点Ｃで止まったまま）
の３つに場合分けできることがわかります。

（１）$0<t≦\frac{5}{2}$のとき
$S=3t×\frac{3}{5}×2t×\frac{1}{2}$
$=\frac{9}{5}t^2$　・・・（答）

（２）$\frac{5}{2}<t≦3$のとき
$S=3t×3×\frac{1}{2}$
$=\frac{9}{2}t$　・・・（答）

（３）$3≦t<\frac{11}{2}$のとき
$S=9×\frac{3}{5}×(11-2t)×\frac{1}{2}$
$=\frac{27}{10}(11-2t)$　・・・（答）

特に（３）のQCの長さの求め方は理解しておく必要があります。

➂条件を満たす$t$の値

②の式を利用して、$t$の値を求めます。全て答えになるとは限りません。それぞれ$t$の範囲内かどうかを確かめる必要があります。

（１）$0<t≦\frac{5}{2}$のとき
$\frac{9}{5}t^2=9$
$t=±\sqrt{ 5 }$
$0<t≦\frac{5}{2}$より$t=\sqrt{ 5 }$

（２）$\frac{5}{2}<t≦3$のとき
$\frac{9}{2}t=9$
$t=2$
これは$\frac{5}{2}<t≦3$に適さない。

（３）$3≦t<\frac{11}{2}$のとき
$\frac{27}{10}(11-2t)=9$
$t=\frac{23}{6}$
これは$3≦t<\frac{11}{2}$を満たす。

（１）～（３）より
$t=\sqrt{ 5 },\frac{23}{6}$　・・・（答）

目安時間：15分

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