【岡山県立岡山朝日高等学校過去問解説シリーズ】
今回は、2017年（平成29年）岡山朝日高校入試の数学大問１の解説です。
問題は岡山県立岡山朝日高等学校公式ＨＰからダウンロードしてください。
あくまで【解説】なので、解答ではありません。（単位はつけましょう。）
どのような思考・手順で解けばよいのかに重点を置いています。
まずは時間を測りながら、自力で解いてみて、その後に読むようにしてください。
途中式や計算、証明問題などで簡単なところは省略している場合があります。
記述問題の解答は、岡山県立岡山朝日高等学校公式ＨＰにある解答例を参考にしてください。
問題の難易度を★の数で表しています。★１～２個の問題は必ず解けるように。
目安時間以内に解ければ、制限時間４５分以内に完答できるでしょう。
※スマートフォンでご覧になると、数式が文字化けしている場合があります。その際は、最下部にて「モバイルバージョンを終了」すると正常に見ることができます。
大問１【目安時間：10分】
①★文字式の利用【目安時間：１分】
２次式の利用の問題です。
一般的には文字式を簡単な式に整理してから代入します。
$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$
$x=2+\sqrt{ 3 }$を代入して
$(\sqrt{ 3 }+3)(\sqrt{ 3 }-1)$
$=\sqrt{ 3 }(\sqrt{ 3 }+1)(\sqrt{ 3 }-1)$ ＊
$=2\sqrt{ 3 }$ ・・・（答）
＊のところで$\sqrt{ 3 }$を因数とする発想があるとよいですね。
②★★球の表面積、指数【目安時間：３分】
球の表面積は$S=4πr^2$
気を付けないといけないのは、単位です。
6400㎞に対して、表面積は㎡です。
$4π(6400000)^2=2^2π(8^2×10^5)^2$
$=2^2×(2^6×2^5×5^5)^2π$
$=2^2×(2^{11}×5^5)^2π$
$=2^{24}×5^{10}π$
よって
$m+n=34$ ・・・（答）
➂★★1次関数【目安時間：２分】
$x$の変域が$0≦x≦b$のとき
$y=-2x+5$の最大値（最も大きい$y$の値）は5（$x=0$のとき）
最小値は（最も小さい$y$の値）は$x=b$のときです。
$y=ax-1$のグラフは切片が-1であることから、$y$の変域が一致するとき
$a>0$で最大値は5（$x=b$のとき）、最小値は-1（$x=0$のとき）だとわかります。
（色んなパターンを考えてみると、上記以外は条件に当てはまらないことがわかります。）
よって$y=-2x+5$に$(b,-1)$を代入して
$-1=-2b+5$
$b=3$ ・・・（答）
$y=ax-1$に$(3,5)$を代入して
$5=3a-1$
$a=2$ ・・・（答）
④★★反比例、変化の割合【目安時間：１分】
「$x$の値が-4から-2まで増加するときの変化の割合が-2」
このことから、グラフは第３象限（座標平面において、$x$も$y$も共に負の値を取る領域）であることがわかります。
「$x$の値が-4から-2まで」・・・第２象限または第３象限
「変化の割合が-2」・・・$x$の値が-4と-2のときのグラフ上の点を結ぶと傾きが負（右下がり）
$x$の増加量は2だから、$y$の増加量は-4
$y=\frac{a}{x}$に-2，-4を代入すると$y$の増加量は$-\frac{a}{4}$
よって$a=16$ ・・・（答）
⑤★平均【目安時間：１分】
平均の問題です。
この問題は、解き方によって随分時間が違うと思います。
面倒で時間がかかるやり方は推奨しません。
以下の考えで解くと大幅に時間短縮できると思います。
ポイントは「平均点の最も大きな場合の値と最も小さな場合の値の差」
これをどのように考えるかですね。
平均点の最も大きな場合とは、それぞれの階級の最大値で考えるときです。
上から順に、20点、19点、16点、13点、10点、7点
逆に平均点の最も小さな場合とは、それぞれの階級の最小値で考えるときだから、
上から順に、20点、17点、14点、11点、8点、0点
ここで人数をかけて点数を合計して20で割って・・・とやると面倒なので、却下。
表にまとめてみます。
| 最大 | 20 | 19 | 16 | 13 | 10 | 7 |
| 最小 | 20 | 17 | 14 | 11 | 8 | 0 |
| 差 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 7 |
| 人数 | 3 | 2 | 5 | 4 | 2 | 4 |
それぞれ、最大と最小の間に差があります。
「最大値の合計と最小値の合計の差」は、【差の合計】と同じです。
差が2の人数は2+5+4+2=13だから
2×13+7×4=54
54÷20=2.7 ・・・（答）
⑥★場合の数、確率【目安時間：１分】
（ア）
5枚のカードから3枚のカードを取り出す場合の数は、
$\frac{5×4×3}{3×2}=10$ ・・・（答）
（イ）
3つの数の積が偶数になるには、少なくとも1つは偶数であればよい。
積が奇数になる場合、すなわち３つとも奇数であるのは1，3，5の１通り。
よって、偶数になるのは10-1=9（通り）だから$\frac{9}{10}$ ・・・（答）
以上、2017年度（平成29年度）岡山朝日高校入試の数学大問１の解説でした。
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